Vài Phút Quảng Cáo Sản Phẩm
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vào hòm thư: [email protected]
Kéo xuống để Tải ngay đề cương bản PDF đầy đủ: Sau “mục lục” và “bản xem trước”
(Nếu là đề cương nhiều công thức nên mọi người nên tải về để xem tránh mất công thức)
Đề cương liên quan:Tiểu luận kinh tế vĩ mô Chính sách tiền tệ ở Việt Nam
Mục Lục
Tải ngay đề cương bản PDF tại đây: Tiểu luận toán cao cấp C2
CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
A.LÝ THUYẾT:
1.1 Đạo hàm riêng:
Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f:
X: tập xác định
Xét
1.2 VI PHÂN:
* Định nghĩa:
Cho hàm số z = f (x,y) đạo hàm riêng của hàm số theo biến x, kí hiệu là:
là giới hạn
* Vi phân hai biến:
Định nghĩa:
Cho hàm số z = f(x,y) thì
Tổng quát:
B. BÀI TẬP:
Câu 1: Cho hàm số Tính
Giải:
Ta có:
Câu 2: Cho hàm số Tính
Giải:
Ta có:
Câu 3 : Cho hàm số Tính
Giải:
Ta có:
Câu 4: Cho hàm số Tính
Giải:
Ta có:
Câu 5: Cho hàm số Tính
Giải:
Ta có:
Câu 6: Cho hàm số Tính
Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số:
Giải:
Ta có:
z = x2 + 4y
z/x = (x2 + 4y )/ = 2x
z/y = (x2 + 4y )/ = 4y.ln4
dz = 2xdx + 4yln4dy
Câu 8: Tìm vi phân cấp một của hàm số:
Giải:
Ta có:
z =
z/x = = =
z/y = = =
Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số:
Giải:
Ta có:
z =
z/x
z/y
Câu 10: Tìm vi phân dz của hàm:
Giải:
Câu 11: Tính vi phân cấp 2 của hàm:
Giải:
Câu 12: Cho hàm hai biến , tính
Giải:
Câu 13: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến
Giải:
Ta có:
Câu 14: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến
Giải:
Ta có:
Câu 15: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến
Giải:
Câu 16: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biếnn
Giải:
Ta có:
CHƯƠNG II: CỰC TRỊ
A. LÝ THUYẾT:
1.1. CỰC TRỊ TỰ DO:
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D R2
Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu:
giả thiết: lân cận điểm P
Cực tiểu địa phương
Cực trị = cực đại + cực tiểu
Điểm dừng:
Nếu tồn tại cực trị địa phương thì nó đạt cực trị địa phương tại các điểm dừng
*Phương pháp tìm cực trị tự do:
Z = f(x,y), D
Tìm cực đại:
Bước 1:
được gọi là điểm dừng.
Bước 2:
Tính
Bước 3:
Đặt
Xét
Nếu <0 điểm (xo,yo) không phải là cực trị
Nếu là cực trị
Với A>0 (xo,yo) là điểm cực tiểu
Với A<0 (xo,yo) là điểm cực đại
dùng phương pháp khác hoặc chưa thể kết luận
1.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN:
Cho hàm số z = f(x,y) và hàm số Điểm (xo,yo) được gọi là điểm cực trị của hàn số f(x,y) với điều kiện nếu nó là cực trị của z = f(x,y) và thoả mãn
* Điều kiện cần:
Giả sử (xo,yo) là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện . Ta giả thiết thêm các hàm f(x,y) ; có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của điểm (xo,yo). Khi đó sẽ tồn tại một số thoả:
(I)
Khi đó (xo,yo) gọi là điểm dừng
: nhân tử Lagreange
* Phương pháp tìm cực trị có điều kiện :
Cách 1: Từ ta tính . Thay vào
ta được hàm một biến theo
Cách 2:
* Giải hệ (I) để tìm điểm dừngvà
*
Xét
Nếu hàm không có cực trị tại
Nếu hàm có cực trị
+ là điểm cực tiểu
+ là điểm cực đại
B. BÀI TẬP:
Câu 17: Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Ta có :
Giải hệ phương trình:
điểm M(1,0) là điểm dừng
Đặt:
Ta có: Hàm có cực trị.
Và A = 2 > 0 Hàm đạt cực tiểu tại điểm M(1,0)
Câu 18: Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 3 điểm dừng
Vậy M1(0;0) không phải là cực trị của hàm số
Vậy M2(2;0) là điểm cực tiểu của hàm
Vậy M3(-2;0) là điểm cực tiểu của hàm
Câu 19: Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Ta có :
Giải hệ phương trình:
điểm M(0,0) là điểm dừng.
Đặt:
Hàm z không có cực trị tại M(0;0)
Câu 20: Cho hàm Tìm cực trị?
Có 1 điểm dừng
là cực trị
Và là cực tiểu của hàm z
Câu 21: Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Ta có :
Giải hệ phương trình:
điểm là điểm dừng
Đặt:
Hàm z có một điểm dừng nhưng không có cực trị.
Câu 22: Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
; hệ vô nghiệm, không có điểm dừng
Câu 23 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 1 điểm dừng
Đặt:
là điểm cực tiểu
Câu 24 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 1 điểm dừng
Đặt :
Vậy hàm Z không có cực trị tại
Câu 25: Tìm cực trị của hàm số: với điều kiện
Giải:
Từ (1) => = 4 (1/)
(3) => y = – 1 (2/)
thế (1/), (3/) vaò (2) ta có:
2(-1) – 2 + 4 = 0
2 – 2 – 2 + 4 =0
6 – 4 = 0
=> y =
là cực tiểu
Câu 26 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 1 điểm dừng
Đặt :
Vậy hàm Z không có cực trị tại
Câu 27 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 1 điểm dừng
Đặt :
Và là điểm cực tiểu của hàm z
Câu 28 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
hệ vô nghiệm
Không có điểm dừng. Vậy hàm z không có cực trị
Câu 29 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
điều này vô lý hệ vô nghiệm
Không có điểm dừng. Vậy hàm z không có cực trị
Câu 30 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải
Có 1 điểm dừng
Đặt :
Vậy hàm z không có cực trị tại
Câu 31 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 2 điểm dừng
* Xét điểm :
Đặt :
Và là điểm cực đại của hàm z
Có 2 điểm dừng
* Xét điểm :
Đặt :
Và là điểm cực đại của hàm z
Câu 32 : Cho hàm với điều kiện
Giải:
Đặt
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Câu 33 : Cho hàm với điều kiện
Giải:
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm và
Câu 33 : Cho hàm với điều kiện
Giải:
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm , đạt cực tiểu tại
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Ngô Thành Phong. Giáo trình toán cao cấp ĐHKHTN 2003
- Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác
- Trang wed Google.com
 xác định trên miền D R2Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu:){kind=link}