Bài tập Xác suất thống kê (Có đáp án)

0
1157
Bài tập Xác suất thống kê (Có đáp án)
QUẢNG CÁO
Vài Phút Quảng Cáo Sản Phẩm


Bài tập Xác suất thống kê (Có đáp án)

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vào hòm thư: [email protected]

Tổng hợp các đề cương đại học hiện có của Đại Học Hàng HảiĐề Cương VIMARU 

Kéo xuống để Tải ngay đề cương bản PDF đầy đủ: Sau “mục lục” và “bản xem trước”

(Nếu là đề cương nhiều công thức nên mọi người nên tải về để xem tránh mất công thức)

Đề cương liên quan:BÀI TẬP VỀ CÁC THÌ TRONG TIẾNG ANH


Mục Lục

Tải ngay đề cương bản PDF tại đây: Bài tập Xác suất thống kê (Có đáp án)

Bài tập Xác suất thống kê (Có đáp án)

Câu 1.

 Lần I rút 2 lá bài trong bộ bài 52 lá để trên bàn. Lần II rút thêm 2 lá nữa để

trên bàn. Sau đó khoanh NN 2 lá. X là số lá cơ có trong 2 lá khoanh sau

cùng.

a/ Tìm phân phối XS của X

b/ Tính XS trong 2 lá đó chỉ có 1 con cơ.

Giải

Thự c chấ t rút 2 lầ n (2 lá, 2 lá) thì tươ ng đươ ng vớ i rút 1 lần 4 lá.

Gọi Aj là biến cố trong 4 lá có j lá cơ. Aj = 0,1,2,3,4 j=0,1,2,3,4, hệ Aj là 1 hệ đầ y đủ ngoài.Tính P(Aj)

P( A0 ) =   C0 C 4     82251     6327     P( A1 ) = C1 C3 118807     9139    
13   39 =   =     , 13 39 =         =       ,
    4   270725 20825     4 270725   20825  
    C52                   C52        
P( A2 ) =   C 2 C 2     57798     4446     P( A3 ) =   C3 C1 11154     858    
  13   39   =     =       ,   13   39 =         =       ,
  4     270725   20825   4 270725 20825
    C52                   C52    
P( A4 ) =   C 4 C 0   = 715   = 55   , P( A0 ) + P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) + P( A4 ) =1
  13   39            
  4     270725   20825  
    C52                                            

a/ Tìm phân phối XS củ a X= 0, 1, 2. Bây giờ có 4 lá bài trên bàn, rút 2 trong 4 lá. Với X= k= 0,

P( X = 0) = P( A )PéX = 0 A ù + P( A )PéX = 0 A ù + P( A )PéX = 0 A ù + P( A )PéX = 0 A ù +
          0 ê       ú   1   ê         ú   2 ê ú 3 ê ú
              ë       0 û         ë         1 û         ë 2 û     ë 3 û  
  é = 0 A ù                                                              
P( A4 )PêX ú                                                              
  ë       4 û                                                              
é = 0 A   ù     C42       é   = 0 A ù   C31       3   1                        
PêX   ú =         = 1, PêX ú =       =   =       ,                      
      2   2     6 2                      
ë 0 û     C4       ë     1 û   C4                                
é     ù   C22 1     é         ù         é             ù                  
PêX = 0 A   ú =       =   , PêX = 0 A ú = 0 , PêX = 0 A ú = 0                
      2 6                
ë 2   û   C4     ë       3 û         ë           4 û                  

P(X = 0) = 0.3038 + 0.2194 + 0.0356 + 0 = 0.5588

Vớ i X = k tổng quát,

Do ta xét trong 2 lá rút lầ n II có k lá cơ.

    é ù   Cik C42ik
Ai (4 lá) = (4- i, i lá cơ ) P êX = k A ú =  
4
    ë i û   C4

Suy ra

P(X=1) = 0 + 0.2194 + 0.1423 + 0.0206 + 0 = 0.3824

P(X=2) = 0 + 0.0356 + 0.0206 + 0.0206 + 0.0026 = 0.0588

P(X=3) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 0.0

P(X=4) = 0 + 0 + 0 +0 + 0 + 0= 0.0

Nhận xét: P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)

= 0.5588 + 0.3824 + 0.0588 + 0 + 0= 1

b/ Tính XS trong 2 lá đó chỉ có 1 lá cơ = P(X=1) = 0.3824.

BÀI 3

Gọi Ai là biến cố lầ n I có i lá cơ, i = 0, 1 ,2

    C 0   C 2       741   C1 C1     507
P(A0)= 13   39   = P(A1)= 13 39 =
C522     1326 C522 1326
    C 2 C 0       78              
P(A2)=   13   39   =                
  C522     1326              
                                   

Gọ i B là biế n cố lầ n II rút đượ c lá cơ khi lầ n I rút 2 lá cơ

P( A )= C111 = 11                  
A2 1 50                  
    C50                    
Gọ i A là biến cố rút 3 lá cơ        
P(A) = P( A2 )P( A ) =   78   · 11 = 11
 
    1326   50 850
            A2      

b/ B là biến cố rút lầ n II có 1 lá cơ vớ i không gian đầ y đủ Ai,i=0,1,2

P(B) = P( A0 )P( B ) + P( A1 )P( B ) + P( A2 )P( B )
A A A
0   1   2  
                              B               C131 13                       B         C121 12      
Trong đó P(   A0 ) =                 =                     P(   A1 ) =         =            
    C501 50                     C501 50      
P( B     ) =     C111 =   11                                                                              
A2                                                                                                    
      C501 50                                                                              
          741         13           507 12   78     11         1                    
P(B)=           ´       +               ´       +       ´       =     = 0.25        
1326 50   1326 50 1326   50       4        
c/ Ta tính XS đầ y đủ trong                                                    
    A             P( A0 )P( B )         741     ´ 13                                            
                                                                 
                                                                                       
P(     ) =   A0   = 1326     50 = 0.581                                
0                                                                            
                                                                           
  B          
                          P(B)               0.25                                              
                                                                                         
        A           507   ´ 12                                           A2       78 ´ 11    
P(     1 ) =         = 0.367                                            
    1326     50                   P( ) = 1326     50   = 0.052
                             
  B          
                        0.25                                               B 0.25      
                                                                                                 

Kì vọng Mx = (-1) ´0.581 + 2 ´0.367 +5 ´0.052 = 0.413

Vậ y trong trò chơ i tôi có lợi.

Bài 4:

Một hộp đựng 5 chai thuốc trong đó có 1 chai giả. người ta lần lượt kiểm tra từng chai cho tới khi phát hiệ n được chai thuốc giả thì thôi( giả thiết các chai phải qua kiểm tra mới xác định được là thuốc giả hay thật) . Lập luật phân phối xác suất củ a số chai đượ c kiểm tra.

                 

Bài giải:

             
X       1       2         3       4       5
                   
PX       0.2       0.16         0.128     0.1024       0.4096

P[X=1] = 15 = 0,2

P[X=2] = P[ A1.A2 ] = 0,8.0,2 = 0,16

P[X=3] = P[ A1.A2 .A3 ] =0,8.0,8.0,2 = 0,128

P[X=4] = P[ A1.A2 .A3 .A4 ] = 0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,1024

P[X=5] = P[ A1.A2 .A3 .A4 .A5 ] =0,8.0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,4096

Câu 5:

Ba người cùng làm bài thi. Xác suất làm đượ c bài của sinh viên A là 0,8; củ a sinh viên B là 0,7; củ a sinh viên C là 0,6. Xác suất để có 2 sinh viên làm được bài.

Bài làm:

Gọ i A, B, C lầ n lượ t là xác suấ t làm đượ c bài của 3 sinh viên A, B, C.

D là xác suấ t có 2 sinh viên làm được bài.

A=0,8; B=0,7; C=0,6.

Ta có:

D = (A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C)

P(D) = P(AÇBÇC) + P(AÇBÇC) + P(AÇBÇC)

Vì A, B, C độ c lập nên:

P(D) = P(A).P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C)

  • 0,2.0,7.0,6 + 0,8.0,3.0,6 + 0,8.0,7.0,4
  • 0,451.

Vậ y xác suấ t để có 2 sinh viên làm được bài là : 0,451.

Câu 6.

Chia ngẫu nhiên 9 hộp sữ a (trong đó có 3 hộp kém phẩm chất) thành 3 phần bằng nhau. Xác suất để trong mỗi phần đề u có 1 hộ p sữ a kém chất lượng.

Bài Giải

Gọi Ai là hộ p thứ i có đúng mộ t sả n phẩ m xấu:

C = A1∩A2∩A3        (với i = 3)

Vậ y xác suấ t để trong mỗ i phầ n đều có mộ t sả n phẩ m kém chấ t lượng là:

 
X ~ B(50,0.02)
      = C 2 C1 C 2 C1 .1 = 15.3.6.2   9  
P(C) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1∩A2) 6 3 . 4   2     =   .
3   C 3   84.20 28
        C     6        
        9                    

Bài

7:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Một trò chơi có xác suất thắ ng mỗ i ván là 1/50. Nế u mộ tngườ i chơi 50 ván thì xác suất để ngườ i này tháng ít nhất một ván.

Bài giải

 

Xác suấ t thắ ng mỗi ván: p = 150 = 0.02

 

Ta có xác suấ t để ngườ i ấ y chơ i 50 ván mà không thắng ván nào:

 

Goi X là số lầ n thành công trong dãy phép thử Becnuli:

 

  • P( X = 0) = C500 020 0.9850 = 0.364
  • Xác suấ t để người chơ i 50 ván thì thắ ng ít nhấ t một ván là:

 

P = 1 – 0.364 = 0.6358

 

 

Câu 8.

Một phân xưởng có 40 nữ công nhân và 20 nam công nhân. Tỷ l ệ t ốt nghiệp phổ thông đối vớ i nữ là 15%, vớ i nam là 20%. Chọ n ngẫu nhiên 1 công nhân củ a phân xưởng. Xác suất để chọn được công nhân tốt nghiệo phổ thông trung học

 

Giải:

 

Số công nhân củ a phân xưở ng tố t nghiệ p trung họ c phổ thông là:

 

Đố i vớ i nữ:             40×15% = 6 người

 

Đố i với nam:          20×20% = 4 người

 

Tổng số công nhân tốt nghiệp phổ thông trung họ c củ a phân xưởng là:

 

6 + 4 = 10 người

 

Xác suấ t để chọ n đượ c công nhân tố t nghiệ p trung họ c phổ thông là:

 

C101  = 10 = 1

C601  60     6

 

Bài 9

 

Trong hộp I có 4 bi trắng và 2 bi đen ,hộp II có 3 bi trắng và 3 bi đen .Các bi có kích cỡ như nhau chuyển 1 bi từ h ộp II sang hộ p I ,sau đó lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp I .Xác suất để l ấy ra bi trắng.

Giải

Gọi

A1: là bi trắ ng lấ y từ hộ p II sang hộp I

A2 : là bi đen lấ y từ hộ p II sang hộp I

  • : lấ y viên bi cuối cùng là bi xanh Áp dụ ng cong thứ c xác suấ t đầ y đủ

P(C)= P(A1).P( C/A1)+P(A2).P(C/A2)

P(A1)= 12

P(A2) = 12

P(C/A1)= 73

P(C/A2)= 75

P(C)= 12.73 + 12.75 =148 = 74

BÀI 10

Gọi Ai la phầ n i có 1 bi đỏ . A là bc mỗ i phầ n có 1 bi đỏ

  A2   A3   C1C3 · C1C3 ·1=0.2857
A=A1A2A3==> P(A1A2A3) = P(A1)P(   )P(   )= 3 9 2 6
A1 A1 A2 C 4   C4  
          12     8    

Bài 11:

Một lô hàng do 3 nhà máy I, II, III sả n xuấ t. tỷ lệ sả n phẩm do 3 nhà máy sản xuất lần lượt là 30%, 20%, 50% và tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 1%, 2%, 3%. chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng. Xác suất để sản phẩm này là phế phẩm?

Bài giải:

 

Gọi:  A là biến cố sả n phẩm đượ c chọ n là phế phẩm.

Bi sả n phẩ m đượ c chọ n do nhà máy thứ i sả n xuất ( i = 1, 2, 3)

Vì chỉ lấ y ngẫ u nhiên 1 sả n phẩm nên có { B1, B2, B3} là mộ t hệ đầ y đủ . Theo gải

thiết ta có: P(B1) =   3                      
10                      
                               
  P(B2) = 2                            
                             
  10                            
  P(B3) = 5                            
  10                          
Áp dụ ng công thứ c xác suấ t toàn phầ n ta được:        
  3               3     2     5    
P(A) = å P(Bi ).P( A / Bi ) = .0,01 + .0,02 + .0,03 = 0,022  
10 10 10
  i=1              

Câu 12:

Có 3 hộp thuốc, hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu, hộp II có 4 ống tốt và

  • ống xấu, hộp III có 3 ống tốt và 2 ống xấu . Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó rút ra 1 ống thuốc thì được ống tốt . Xác suất để ống này thuôc hộp II.

Bài làm:

 

Gọi Ai là biến cố chọ n hộ p thứ i (i = 1,3) . B là biến cố chọ n 1 ống tốt.

Vậ y xác suấ t để B thuộ c hộp II là:

P(A2   ) = P(A2 ÇB)
B P
    (B)

Trong đó:

+ P(A2 ÇB) = P(A2 ) .P( B A2 ) = 1 . 3 =   4 .  
     
2 4
        ü     15  
          ý                

+ Ta có: A , A , A độ c lập

1       2        3              þ

A1 Ç A2 Ç A3 = W , {A1 , A 2 , A3 } là hệ đầ y đủ.

Áp dụ ng công thứ c xác suấ t đầ y đủ ta có:

P(B) = P(A1).P( BA1) + P(A2 ).P( BA2 ) + P(A3).P( BA3)

          1 æ 5 + 4 +   3 ö     74          
              ç         ÷                
      = 3 7 5 5 = 105 .      
      è       ø      
P A       =   P(A2 ÇB)     =   415     = 14 ×
    )     P         74        
2                     37
(   B                   105      
                  (B)                    

Vậ y xác suấ t để ố ng thuố c đượ c lấ y ra thuộ c hộp II là: 1437 ×

Câu 13.

Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm có hoàn lại . Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được.

  1. X tuân theo quy luật nào? Viết biểu thức xác suất tổng quát của quy luật.

 

  1. Tính kỳ vọng và phương sai cua X.

 

  1. Tìm số sản phẩm trung bình được lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó.

Bài Giải

  1. a) X tuân theo luật phân phối nhị thức.

Biểu thức tổng quát

  • được gọi là có phân phối nhị thức ký hiệu là X : b( n,p) Có hàm xác suất:
Với P ( X = k ) = C nk .p k .qn k    ( q = 1- p )
k = { } , p Î (0;1)
    0,1, 2,…, n
  1. Kỳ vọng và phương sai của X Kỳ vọng:
X 1 2 3 4 5
PX 0,0062 0,0508 0,2050 0,4106 0,32686
  7 8 6 3  

E(X)= 1.0,00627+2.0,05088+3.0,20506+4.0,41063+5.0,32686

=4,00003

Phương sai:

X 2 1 4 9 16 25
PX 2 0,0062 0,0508 0,2050 0,4106 0,32686
  7 8 6 3  

E(X2 )= 1.0,00627+4.0,05088+9.0,20506+16.0,41063+25.0,32686 =16,79691

D ( X ) = E ( X 2 ) – (E ( X ))2 = 16,79691- (4,00003)2 = 0,79667

Bài 14:

Ba công nhân cùng làm ra mộ t loạ i sả n phẩ m, xác suấ t đề người thứ 1, 2, 3 làm ra chính phẩ m tư ng ứng là 0.9, 0.9, 0.8. Có mộ t ngườ i trong đó làm ra 8 sả n phẩm thấ y có 2 phế phẩ m. Tìm XS để trong 8 sả n phẩ m tiếp theo cũng do người đó làm ra sẽ có 6 chính phẩm.

Bài giải

Gọi Ai là các sả n phẩm do công nhân thứ i sả n xuất, i = 1, 2, 3

P(A)= P(A1)P æ A ö + P(A2)P æ A ö + P(A3)P æ A ö  
è A1 ø è A2 ø è A3 ø  
      ç ÷       ç ÷       ç ÷  
= 1 C86 (0.9)6 (0.1) + 1 C86 (0.9) 6 (0.1)2  + 1 C86 (0.8)6 (0.2)2  = 0.2  (*)  
3 3 3
                         

Sau khi A xả y ra, xác suấ t củ a nhóm đầ y đủ đã phân bố lạ i như sau, biể u thức (*) cho

ta P æ A ö = 0.248 » 0.25, tươ ng tự P æ A ö = 0.248 » 0.25,
ç ÷ ç ÷
è   A1 ø   è   A2 ø  
tươ ng tự P æ A ö = 0.501 » 0.5
ç ÷
è   A3 ø  

Gọ i B là biế n cố 8 sả n phẩm tiế p theo cũng do công nhân đó sả n xuấ t và có 2 phế phẩm.

P(B) = æ A A ö æ   ö + æ A A ö æ   ö + æ A A ö æ   ö
Pç ÷Pç B AA ÷ Pç ÷Pç B AA ÷ Pç ÷Pç B AA ÷
  è 1 ø è 1 ø   è 2 ø è 2 ø   è 3 ø è 3 ø
  • 25 ´ C86 (0.9)6 (0.1)2 + 0.25 ´ C86 (0.9)6 (0.1)2  + 0.25 ´ C86 (0.8)6 (0.2)2  = 0.23

Câu 15 :

Luậ t phân phố i củ a biến (X, Y) cho bở i bảng:

      20 40   60    
Y                
X                
10   λ λ 0      
                   
20   λ λ    
                   
30   λ λ    
                   
  Xác định λ và các phân phối X, Y?        

 

Gi ải:

 

 

 

 

 

 

 

 

    Các phân phối X, Y:            
      X   10 20 30
           
          PX   2 λ 4 λ 5 λ
Y 20 40 60
PY 6 λ 3 λ 2
  λ    

Xác định λ:

11 λ = 1 Þ  λ = 1/11

Câu 16.

(X,Y) là cặp BNN có hàm mật độ đ ồng thời:

ì6 x y

ï                    ,0 < x < 2,2 < y < 4

f ( x, y)í       8

ïî0

Tính P(1<Y<3/X=2)

 

                              Gi ải:                  
Hàm mậ t độ phân phố i lề của X                                      
ì0 < x < 2                                                    
ï y=4 y=4 6 xy     1 æ         y2 ö         3 – x
                   
í                     4    
ï f X ( x) = ò f ( x, y)dy = ò         dy =       ç 6 yxy       ÷   2 =    
                       
  8     8 ç 2 ÷   4  
î y=2 y=2         è         ø          
                     
Hàm mậ t độ phân phố i lề của Y                                      
ì2 < y < 4                                                    
ï x=2 x=2 6 – xy     1 æ     x2       ö         5 – y
í               2    
                      ç             ÷              
ï fY ( y) = ò f ( x, y)dx = ò       dx =                 0 =      
  8   8 ç6x 2 xy ÷   4  
î x=0 x=0         è           ø            
                             

Ta có

  • X ( x) fY ( y) ¹ f ( x, y)

Hàm mậ t độ có điều kiện củ a Y vớ i điề u kiện X=x

æ y ö = f ( x, y)  
fY ç ÷    
f X ( x)  
è x ø  
    6 – xy     (6 – xy)  
=   8     = ,0 < x < 2,2 < y < 4
    3 – x     2(3 – x)
    4          
                 

Thay số vào ta được

y=3

P(1 < Y < 3/ X = 2) = P(2 < Y < 3/ X = 2) = ò fY ( y / x = 2)dy =

y=2

= yò=3 (6 –( xy))

y=2   2 3 – x

    y=3 (4 – y)   1 æ   y2 ö   3   3
    ò        
x=2 dy =   =   ç 4 y   ÷   2 =  
         
  2   2 ç   2 ÷     4
    y=2   è   ø      

BÀI 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
                         
a/ Tìm P(X+Y<9.5)                      
M(X+Y)=M(X)+M(Y)=12                    
D(X+Y)=D(X)+D(Y)=1.22  + 0.92   = 2.25 =1.52      
æ 9.5 -12 ö   æ – ¥ -12 ö        
P[-¥ < X + Y < 9.5] = jç   ÷ j ç     ÷ = j(-1.667) + 0.5 = 0.5 – 0.4515 = 0.0485  
1.5 1.5
è ø   è ø        
                         

b/ Tìm P[ X < Y ]

M(X-Y)=M(X)-M(Y)= 2

D(X-Y)=D(X)+D(Y)= 2.25=1.52

æ 0 – 2 ö æ – ¥ – 2 ö    
P(X < Y ) = P(-¥ < X Y < 0) = j ç   ÷ j ç   ÷ = j (-1.333) + 0.5 = 0.5 – 0.4082 = 0.0918  
1.5 1.5
è ø è ø    

c/ tìm P(X>2Y)

M(X-2Y)=M(X)-2M(Y)=-3

D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)=4.68= 2.1632

æ ¥ + 3 ö æ 0 + 3 ö      
P( X > 2Y ) = P(0 < X – 2Y < ¥) = jç   ÷ jç   ÷ = 0.5 –j(1.386) = 0.5 – 0.4165  
2.163 2.163
è ø è ø      

d/ Tìm P[2 X +3Y <28]

M(2X+3Y)=2M(X)+3M(Y)=29

D(2X+3Y)=4D(X)+9D(Y)=13.032= 3.612

æ28 -29 ö æ-¥-28 ö        
P(-¥ < 2 X +3Y <28) =jç   ÷ jç   ÷ =0.5 -0.106 =0.394  
3.61 3.61
è ø è ø        

Bài 19:

giả sử cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn Î N(0,12).

Tính các xác xuất sau:

a/ P(X<Y)

b/ P( |X| < Y)

c/ P( X < 1 Ç Y < 1)

Bài giải:

  x 1     x 2 æ y 1     y2
        dx çç    
a/ ò     e     ò     e  
            2
    2  
             
         
        2p
  x=-¥ 2p         è y= x      

ö

dy ÷÷

ø

x 1     x2  
=  ò     e    
    2  
     
2p
x=-¥        
æ 1   1 æ x ö ö 1
ç   ÷
                 
ç 2 2 erf ç 2 ÷ ÷dx = 2
è   è ø ø
                     

Hình a                            b/

 

x 1         x2     æ y= x 1           y2   ö    
2 ò                       ç ò                       ÷    
              2                         2      
          e         dxç                 e   dy ÷    
    2p       2p      
x=-¥                     è y=-¥       ø    
    x 1         x2 æ   x ö       1   1
  ò                      
                     
=  2               e 2 erf ç         ÷dx = 2.     =  
                      4 2
  x=-¥     2p       è   2 ø        
                                                           

c/

  x=1 1       x2 æ y=1 1     y2   ö
  ò     e     dxç ò     e   dy ÷
    2   2
                   
  x=-¥   2p             ç y=-¥     2p           ÷
Hình b                            
                    è     2             ø
  æ y=1 1         y2   ö              
                         
  ç ò                   ÷               2  
              2                    
  = ç             e     dy ÷ = 0,8314   = 0,707
        2p      
  è y=-¥               ø                  

Hình c

Câu 20:

Giả sử trái cây củ a nông trườ ng dã đượ c đóng thành sọt, mỗi sọt 10 trái. Kiểm tra 50 sọ t đượ c kết quả như sau:

                         
Số trái                        
hỏng 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  
trong sọt:
                       
k                        
Số sọt co         2              
k trái 0 2 3 7 6 4 7 0 0 1  
0
hỏng.                      
                       
  1. Tìm ước lượng cho tỉ lệ trái cây hỏ ng trong nông trường.

 

  1. Tìm ước lượng cho tỉ lệ trái cây hỏ ng trung bình ở mỗ i sọt.

 

  1. c) Tìm ước lượng không chệ ch cho độ biế n động tỉ lệ trái cây hỏ ng ở mỗi sọt.

Bài làm:

  1. Ướ c lượ ng cho tỉ lệ trái cây hỏ ng trong nông trườ ng chính là ướ c lượng điểm cho tỉ lệ đám đông.

Tổng số trái cây điều tra là: n = 10.50 = 500.

Số tái cây hỏ ng phát hiệ n được:

M = 0.0+1.2+2.3+3.7+4.20+5.6+6.4+7.7+8.0+9.0+10.1 = 222.

Tỉ lệ hỏ ng trong mẫu là: f = 500222 = 0,444.

Vây ướ c lượ ng tỉ lệ trái cây hỏ ng trong nông trườ ng là vào khoảng : 44,4%

  1. Gọi xi là tỉ lệ phầ n trăm trái cây hỏ ng ở mỗi sọ t. Ứ ng vớ i số trái hỏng trong sọt ta có các giá trị của xi (%) là: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.
  • i – x o

Lấy x0 = 40, h = 10, xi’ =    h       .

Ta có bảng sau:

xi (%) ni xi’ xi’ni x i’2 ni
0 0 -4 0 0
10 2 -3 -6 18
20 3 -2 -6 12
30 7 -1 -7 7
40 20 0 0 0
50 6 1 6 6
60 4 2 8 16
70 7 3 21 63
80 0 4 0 0
        90       0 5 0   0
        100       1 6 6   36
                n=50   åx’i .n i  = 22 åx’i 2 .ni  = 158
      åx’ n i =   22 = 0,44 ×        
x’n =        
  n 50        
                     
  n  =     = 0,44.10 + 40 = 44,4(%).    
x x’n .h + x0    

Vậ y ướ c lượ ng cho tỉ lệ trái cây hỏ ng trung bình ở mỗ i sọ t vào khoảng 44,4%.

Ta thấ y kết quả này tươ ng tự kết quả ở câu (a).

  1. Tìm ướ c lượ ng không chệch cho độ biến độ ng tỉ lệ trái cây hỏ ng ở mỗ i sọt: Ta có:

x’2  = 15850 = 3,16.

2

sˆ2x’  = x’  – (xn )2  = 3,16 – 0,442  = 2,9664.

2  = sˆ2 .h 2  = 2,9664.102  = 296,64.

x’

s2 = 2 .n   = 296,64.50 » 303.  
n -1 50 -1
       

Vậ y ta dự đoán độ biến độ ng củ a tỉ lệ hỏ ng giữ a các sọ t là vào khoảng 303.

Câu 21.

Trọ ng lượ ng trung bình củ a mộ t loạ i sả n phẩ m là 6kg. Qua thự c tế sả n xuất, người ta tiế n hành mộ t số kiể m tra và đượ c kế t quả cho trong bả ng sau (tính bằng kg).

4 1 7 5 6 7 3 6 7 3 8
5 8 6 4 6 5 7 5 1 9 2
                0    
6 4 7 7 6 6 4 9 3 7 7
2 5 7 7 1 6 6 5 1 2 11
                0    
6 4 8 6 4 8 1 1 3 7 8
              0      
2 7 7 6 1 4 5 2 1 7 4
        0       1    
7 4 6 5 4 6 5 4 9 5 4
6 5 8 6 6 9 5 6 8 6 8
8 5 3 4 8 5 1 8 5 6 5
4 9 6 6 8 4 6 3 5 3 4
1 1 9 2 1 9 4 9 1 9 10
0 0     1       0    
  1. Hãy kết luộ n về tình hình xác suấ t vớ i mức α = 5%
  1. Hãy tìm một ước lượng cho giá trị trung bình thực tế sản xuất với độ tin cậy 99%.

Bài Giải

Từ bảng số liệu trên ta đưa về bảng

xi ni xi ni x 2 n
      i   i
1 4 4 4
2 6 12 24
3 7 21 63
4 17 68 272
5 17 85 425
6 23 138 828
7 15 105 735
8 12 96 768
9 9 81 729
1 8 80 800
0      
1 3 33 363
1      
  n = 121 å xi ni = 723 å xi2 ni = 5011

Câu 22: Cặp [X(cm), Y(kg)] cho một vật liệu (có 33 cặp) trong bảng sau:

x y 30 35 x y 42 40
3 5 31 30 36 34 42 44
7 11 31 40 37 36 43 37
11 21 32 32 38 38 44 44
15 16 33 34 39 37 45 46
18 16 33 32 39 36 46 46
27 28 34 34 39 45 47 49
29 27 36 37 40 39 50 51
30 25 36 38 41 41    

a/ Tìm phươ ng trình hồ i quy tuyến tình theo Y và X.

b/ Tính hệ số tương quan r XY .

Giải

a/

x i y i x i 2 æ ö 2 æ ö 2 (x ix )
  ç xix÷   ç xi x÷   ´ ( y i y )
        è   ø   è   ø  
3 5 9   927.479339 844.5188 885.0275
7 11 49 699.842975 531.7916 610.0579
11 21 121 504.206612 170.5794 293.27
15 16 225 340.570248 26.1853 333.3003
18 16 324 238.842975 326.1855 279.1185
27 28 729 41.661157 36.73095 39.11846
29 27 841 19.8429752 49.85216 31.45179
30 25 900 11.9338843 82.09458 31.30028
  30         35             900   11.9338843 0.882461 -3.24518
  31         30             961   6.02479339 16.48852 9.966942
  31         40             961   6.02479339 35.2764 -14.5785
  32         32             1024   2.11570248 4.246097 2.997245
  33         34             1089   0.20661157 0.003673 0.027548
  33         32             1089   0.20661157 4.246097 0.936639
  34         34             1156   0.29752066 0.003673 -0.03306
  36         37             1296   6.47933884 8.64037 7.482094
  36         38             1296   6.47933884 15.51882 10.2755
  36         34             1296   6.4793384 0.003673 -0.15427
  37         36             1369   12.5702479 3.761249 6.786033
  38         38             1444   20.661157 15.51882 17.90634
  39         37             1521   30.7520661 8.640037 16.30028
  39         36             1521   30.7520661 3.761249 10.75482
  39         45             1521   30.7520661 119.6703 60.66391
  40         39             1600   42.8429752 24.39761 32.33058
  41         41             1681   56.9338843 48.15519 52.36088
  42         40             1764   73.0247934 35.2764 5075482
  42         44             1764   73.0247934 98.79155 84.93664
  43         37             1849   91.1157025 8.640037 28.05785
  44         44             1936   111.206612 98.79155 104.8154
  45         46             2025   133.297521 142.5491 137.8457
  46         46             2116   157.38843 142.5491 149.7851
  47         49             2209   183.479339 223.1855 202.3609
  50         51             2500   273.752066 286.9431 280.27
n = 33         S             41086   4152.18182 3713.879 3752.091
                S / n                 125.823691 112.5418 113.6997
b/ x = 33.4545                            
    y = 34.0606        
  æ     öæ ö                        
      åç xix ÷ç yiy ÷           113.699          
rXY  = è         øè ø       =     = 0955479    
                                   
æ ö 2 æ ö 2 125.82 ´112.54    
               
                           
                               
      åç xi x ÷   åç yi y ÷                      
  è     ø   è   ø                      

Phươ ng trình hồi quy y theo x: =         +      =                     +

y  ax    b             0.9036x             3.829

Câu 23:

 

a/ Ta lậ p bả ng tính mộ t số đăc trư ng sẽ cần:

                  X0 = 1.75         h = 0.5        
                                     
Số lượng   Điểm giữa   n     xi,   xi, .n xi, 2 .n    
  (kg )               xi                        
0.5 – 1       0.75     40         -2   -80 160    
1 – 1.5       1.25     70         -1   -70 70    
1.5 – 2       1.75     110         0   0 0    
2 – 2.5       2.25     90         1   90 90    
2.5 – 3       2.75     60         2   120 240    
3 – 4       3.5       30         3.5   105 367.5    
                      ån = 400     165 927.5    
Ta có:                             xn  = 0.4125 x 0.5 + 1.75 = 1.95625  
  xn, = 165  = 0.4125          
                                     
                                         
    400                              
  xÙ,2 = 927.5   = 2.31875                    
                         
  n 400                            
Ù = 2.31875 – 0.41252 = 2.1486  Þ sÙ 2  = 2.1486 x 400 = 859.44 s 2
  s 2x,
= 400x859.44   = 861.594   Þ  s = 29.353        
         
399                                        
Bài ra:                                        
  1 – a  = 95% Þ  ta    = 1.96            
  m1 =   1.95625 – 1.96 x 29.353   = 1.725656        
      20          
                                         
  m2 =   1.95625 + 1.96 x 29.353 = 2.186844      
  20        
                                         

Thành phố có 600000 hộ nên khoả ng ướ c lượ ng tổ ng số lượ ng sản phẩm công ty tiêu thụ là:

m1  = 1.725656 x 600000 = 1,035,396 (kg)

m2  = 2.186844 x 600000 = 1,312,106 (kg)

CÂU 24

X(Kg)là chỉ tiêu củ a mộ t loạ i sả n phẩ m. Diề u tra mộ t số sả n phẩ m ta có kết

quả

x 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80
nt 5 10 25 30 18 12
a.ướ c lượ ng trung bình chỉ tiêu với độ tin cậy 98%    
  1. có tài liệ u nói rằ ng trung bình X là 70% cho nhậ n xét vớ i mức ý nghĩa 5%
  1. ướ c lượ ng trung bình chỉ tiêu X củ a các sả n phẩ m có chỉ tiêu X không qáu 60kg vớ i dộ tin cậ y 99%. Gỉ a thiết chỉ tiêu này có phân phố i chuẩn

gi ải

ta có bả ng đặ c trư ng mẫu x0=67,5 h=5

    xi                       ni     xi     nixi                 nixi2
    52,5               5     -3       -15               45
    57,5               10     -2       -20               40
    62,5               25     -1       -25               25
    67,5               30     0       0               0
    72,5               18     1       18               18
    77,5               12     2       24               48
                                  n=100             å xn = -18     å x‘2 = 176
                -18                                              
                                                     
      = = -0,18       xn = -0,18.5+67,5= 66,6
      xn                
      100    
                                                             
            2     176                                          
          = 1,76     2         2     1,7276        
        xn =               sx = 1, 76 – ( -0,18)   =        
        100              
                                                             
$ 2 = 1,7276 ´ 100=172.76                                  
s                                      
                µ 2       100                                      
    s2= n ´ s     =     = 174, 5 Þ s = 13,2                        
                                         
    n -1         99 (172, 76)                        
                                               
  Đây là bài ti\oán ướ c lượng trung bình cho đám đông                    
  + n=100>30 ,s 2 chư a biết.Ta áp dụ ng công thức m1,2   =   ± ta   s
    xn
             
      n
                                                                 

98%=1-a =2j(ta ) Þ j(ta ) = 0, 49 Þ ta  = 2,33

Þ m1 =   ta s   = 63,52 m2 =   + ta s   =69,68
xn   xn  
           
  n   n
                       

Vậ y trung bình chỉ tiêu kiể m tra là 63,52 đến 69.68 kg b)ta có bả ng phân phối

                  x           52,5   57,5                         62,5               67,5
                  ni           5     10                             25               30
                -60                                                                      
                                                                                 
              = -0,0,857                 xn = -0,857+67,5= 68,357
    xn =                          
    70          
                                                                                       
              2 110                                                              
        = 1,57     2 = 1, 57 – ( – 0,857) 2 = 0,836
        xn =                 sx  
          70        
                                                                                     
$ 2 = 0,836 ´ 70=58,59                                                        
s                                                                
                µ   2       70                                                          
s2= n ´ s       =     = 59, 43 Þ s = 7,7                                                  
                                                                                   
            n -1           69 (58,59)                                                  
                                                                       
m = m0 = 70               a = 5% = 0,05 n = 70 > 30
Từ bả ng phân phố i student vói n – 1 = 69 bậ c tự do ta có  
                                                    n m0                  
Ta tính kiểm định     t =       x   =     68,357 – 70 = 1,785
                                   
                  s         7,7      
                                                                                         
                                                              n           70    
  • £ ta ,1.785 < ta = 2,33 vậy có thể chấp nhận được Tài liệu đúng .Nghĩa là H0 là đúng

 

  1. ta có phân phối chuẩn
            x     52,5   57,5  
      1   ni     5   10  
    åni xi = 837,5     s2=5,96 =>s = 2,44 n=15<30  
xn = = 55,8
       
15 15
                           
                x m                      
    Khi đó   n                 có phân phố i student (n-1) bậ c tự do  
        s        
                                                                   
                          n                 => 99% =>1-a = 99% => a = 0, 01 =>ta  = 2,976
Biết 1-a => a ¾¾®ta
                                        C n-1                   14
Sao cho p éT £ tn-1 ù = 1-a                  
ë   n-1         a û                    
Suy ra                                                          
    m1 =   tan1     s   =55,8 – 2,976 2, 44   = 53,9  
    xn      
                       
             
                                        n             15      
m   =   + tn-1     s                   2, 44 = 57, 7  
2 x       = 55,8 + 2,976  
                         
    n a       n   15            
                                                     

Vậ y khoả ng tin cậy (53,9; 57,7)


Tải xuống tài liệu học tập PDF miễn phí


LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here