PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ÔN THI VÀO LỚP I0

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vào hòm thư: [email protected]

Tổng hợp các đề cương đại học hiện có của Đại Học Hàng Hải: Đề Cương VIMARU 

Kéo xuống để Tải ngay đề cương bản PDF đầy đủ: Sau “mục lục” và “bản xem trước”

(Nếu là đề cương nhiều công thức nên mọi người nên tải về để xem tránh mất công thức)

Đề cương liên quan:Bộ đề ôn thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh kèm đáp án

---

Tải ngay đề cương bản PDF tại đây: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ÔN THI VÀO LỚP I0

PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO  ÔN THI VÀO LỚP I0

 Phương trình  a x³ +bx² +cx+d=0 ⁽¹⁾            (a0)

-Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải

-Nếu a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm  x=1

– Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm  x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích

-Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ước của hạng tử tự do , giả sử 3 nghiệm là x₁;x₂;x₃  thì    x₁+x₂+x₃  =-b/a

x₁.x_2.x₃    =-d/a

x₁.x₂ +x₁x₃ + x₂.x₃ =c/a

Bài 4.1:

1. a) Giải phương trình 2x³+7x²+7x+2=0

a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm  x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích

1. b)  Giải phương trình   x³+7x²-56 x+48=0

a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm  x=1

1. Giải phương trình 2x³+5x²+6x+3=0  
2. e) Giải phương trình sau : x³+ 4x² -29+24 =0   (1) <=> (x-1 )( x²+5x-24 )=0

Bài 4.2      Giải phương trình sau     4x ⁴ – 109x²+ 225 =0   (1)

Bài 4.3     phương trình  hệ số đối xứng bậc 4  :    a x⁴ + bx ³+ cx²  + dx +e =0

( x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số  ;a 0 )

 (Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau )

phương pháp giải gồm 4 bước

-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x² (đk x 0) rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được phương trình  mới

-Đặt ẩn phụ :      (x+ =t     (3)    =>  x²+ =t² -2   ta được phương trình ẩn t

-giải phương trình đó ta được t  = ….

– thay các giá trị của t vào (3) để tìm  x  và trả lời nghiệm (1)

Giải phương trình sau

10x⁴– 27x³– 110x² -27x +10=0    (1) 

Ta nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của (1)

chia cả hai vế (1) cho x² (đk x 0)

ta được  pt <=>10x² -27x – 110 – = 0

Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được PT

10( x² +) -110 =0  (2)

Đặt ẩn phụ    (x+ =t    (3)  =>  x²+ =t² -2   thay vào (2) ta có

<=> 10t²  -27t  -130=0  (4)   Giải (4) ta được     t₁=-   ; t ₂=

+ Với t₁=-  ó  (x+ =-    ó 2x² +5x+2=0  có nghiệm là x₁=-2  ; x₂=-1/2

+Với  ; t ₂=    ó (x+ =  ó 5x²-26x+5 =0 có nghiệm là  x₃=5 ; x₄=1/5

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là S=

Bài 4.4  Phương trình hồi quy  dạng tổng quát :      a x⁴ + bx ³+ cx²  + dx +e =0  (1)

Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số  ;   a 0 e0)        và   ;

phương tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trường hợp đặc biệt của phương trình hồi quy

Chú ý :Khi  =1hay a=e thì d= b; lúc đó (1) có dạng   a x⁴ + bx ³+ cx²  bx +e =0

 Cách giải:

-Do x=0 không phải là nghiệm của phương trình (1)nên chia cả hai vế cho x² ta được

a x² +bx +c + = 0      (2)

Nhóm hợp lí               a (x² +

-Đổi biến                    đặt   x+  =t    => x² +(    do        (d/b)²  =c/a

nên x²+ c/ a x²=t² -2. d/b

Khi đó ta có phương trình      a (t² – 2) bt +c =0

Ta được phươnmg trình (3) trung gian như sau :    at²+ bt +c=0     (3)

-Giải (3) ta được nghiệm của phương trình ban đầu

         Giải  phương trình :   x⁴-4x³-9x²+8x+4=0   (1)

Nhận xét 4/1=; Nên phương trình (1)    là phương trình hồi quy

• x=0 không phải là nghiệm của (1)
• Do đó chia cả hai vế phương trình cho x²  (x 0)    ta được

x^2- -4x -9 + =0   ó (x²  +  – 4( x -) -9 =0    (2)

*  Đặt ( x -) =t      (3)  => .( x²  +  =t²  +4  thay vào (2)

Phương trình (1) trở thành       t²-4t -5 =0  có nghiệm là t₁=-1  ; t₂=5

 nhận xét : tương tự  như giải phương trình bậc 4 hệ số đối xứng  , chỉ khác bước đặt ẩn phụ

Đặt x+ =yb => x₂ ⁺    

Bài 4.5      Phương trình dạng :   (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m   (Trong đó a+d=b+c)

cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d)    ; (x+b) với (x+c)   rồi triển khai các tích đó

Khi đó phương trình có dạng

[x² +( a+d)x  +ad ] [ x² + (b+c )x +bc ] =0

Do a+d=b+c   nên ta đặt [x² +( a+d)x  + k ] =t (2) ( k có thể là ad  hoặc bc )

Ta có phương trình   At² +B t + C =0           (Với A=1)

Giải phương trình ta tìm được t sau đó thay vào (2) rồi giá trị  tìm được nghiệm  x

 Giải phương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15     (1)  

• nhận xét 1+7 =3+5
• Nhóm hợp lý            ó  (x+1) (x+7 )  . (x+3) (x+5 ) +15=0

ó    (x² +8x +7 )  (x² + 8x +  15) +15 =0   (2)

*Đặt (x² +8x +7 ) =t  (3)    thay vào (2) ta có  (2) ó t( t+ 8)  + 15=0

óy² +8y +15  =0   nghiệm   y₁=-3 ; y₂=-5

Thay vào (3) ta được 2 phương trình

1/x² +8x +7 = -3 ó x²+ 8x +10=0  có nghiệm x_1,2 = -4

2/   x² +8x +7 = -5 ó x² +8x +12 = 0 có nghiệm x₃=-2; x₄ =-6

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là     S =

Bài 4.6:Phương trình dạng;    (x+a)⁴ +(x+b)⁴ = c    (1) (Trong đó x là ẩn  số  ;a, b, c là các hệ số )

cách giải :

Đối với dạng phương trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của  (x+a) và (x+b)

Đặt   t =x+      =>  x+a =t+             và     x+b=t –

Khi đó phương trình (1) trở thành :  2t⁴ +2 ( )² t² + 2( )⁴ –c =0

Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải

 Giải phương trình sau :     (x+3)⁴ +(x-1)⁴ =626

Đặt     t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1

Ta có phương trình    ó (t+2)⁴ + (t – 2)⁴  =626

ó 9t⁴+8t³ +24t²+32t +16) +(ó 9t⁴– 8t³ +24t²– 32t +16)=626

ót⁴ +24t²   – 297 =0 =>   t=-3  và t=3

Từ đó tìm được       x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 4.7/  Phương trình dạng :  a[ f(x)]² +b f(x) +c = 0

(trong đó x là ẩn   ;a 0  ; f(x) là đa thức một biến )

cách giải:  – Tìm TXĐ của phương trình

–  Đổi biến bằng cách đặt   f(x) =t  khi ó phương trình có dạng at² + bt +c =0    (2)  là PT bậc ha  +/nếu (2) có nghiệm là t=t₀  thì ta sẽ giải tiếp phương trình    f(x) =t

+/ nghiệm của phương trình f(x) =t₀  (nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phương trnh (1)

 Ví dụ : Giải phương trình     x⁴+6x³+5x²-12x+3=0  (1)

TXĐ :      xR

Biến đổi vế trái ta có    VT= (x²+ 3x)² -4(x²+3x) +3

Vậy ta có phương trình <=> (x²+ 3x)² -4(x²+3x) +3 =0

Đặt x²+ 3x =t    (2)

Ta có PT    <=>  t² -4t +3 = 0      có nghiệm là t₁=1 ;t₂=3

Bài 4.8   Phương trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)

Giải phương trình                2x⁵  +3x⁴ -5x³ -5x²  +  3x +2=0

Phương trình  có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phương trình về dạng

( x+1) (2x⁴+x³ -6x²+x+2 )=0

Khi đó phương trình có dạng

[x² +( a+d)x  +ad ] [ x² + (b+c )x +bc ] =0

Do a+d=b+c   nên ta đặt [x² +( a+d)x  + k ] =t   (2)   ( k có thể là ad  hoặc bc )

Ta có phương trình   At² +B t + C =0           (Với A=1)

Giải phương trình ta tìm được t sau đó thay vào (2) rồi giá trị  tìm được nghiệm  x

 Giải phương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15     (1)  

• nhận xét 1+7 =3+5
• Nhóm hợp lý            ó  (x+1) (x+7 )  . (x+3) (x+5 ) +15=0

ó    (x² +8x +7 )  (x² + 8x +  15) +15 =0   (2)

*Đặt (x² +8x +7 ) =t  (3)    thay vào (2) ta có  (2) ó t( t+ 8)  + 15=0

óy² +8y +15  =0   nghiệm   y₁=-3 ; y₂=-5

Thay vào (3) ta được 2 phương trình

1/x² +8x +7 = -3 ó x²+ 8x +10=0  có nghiệm x_1,2 = -4

2/   x² +8x +7 = -5 ó x² +8x +12 = 0 có nghiệm x₃=-2; x₄ =-6

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là     S =

Bài 4.6:Phương trình dạng;    (x+a)⁴ +(x+b)⁴ = c    (1) (Trong đó x là ẩn  số  ;a, b, c là các hệ số )

 cách giải :

Đối với dạng phương trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của  (x+a) và (x+b)

Đặt   t =x+      =>  x+a =t+             và     x+b=t –

Khi đó phương trình (1) trở thành :  2t⁴ +2 ( )² t² + 2( )⁴ –c =0

Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải

 Giải phương trình sau :     (x+3)⁴ +(x-1)⁴ =626

Đặt     t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1

Ta có phương trình    ó (t+2)⁴ + (t – 2)⁴  =626

ó 9t⁴+8t³ +24t²+32t +16) +(ó 9t⁴– 8t³ +24t²– 32t +16)=626

ót⁴ +24t²   – 297 =0 =>   t=-3  và t=3

Từ đó tìm được       x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 4.7/  Phương trình dạng :  a[ f(x)]² +b f(x) +c = 0

(trong đó x là ẩn   ;a 0  ; f(x) là đa thức một biến )

cách giải:  – Tìm TXĐ của phương trình

–  Đổi biến bằng cách đặt   f(x) =t  khi ó phương trình có dạng at² + bt +c =0    (2)  là PT bậc ha  +/nếu (2) có nghiệm là t=t₀  thì ta sẽ giải tiếp phương trình    f(x) =t

+/ nghiệm của phương trình f(x) =t₀  (nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phương trnh (1)

 Ví dụ : Giải phương trình     x⁴+6x³+5x²-12x+3=0  (1)

TXĐ :      xR

Biến đổi vế trái ta có    VT= (x²+ 3x)² -4(x²+3x) +3

Vậy ta có phương trình <=> (x²+ 3x)² -4(x²+3x) +3 =0

Đặt x²+ 3x =t    (2)

Ta có PT    <=>  t² -4t +3 = 0      có nghiệm là t₁=1 ;t₂=3

Bài 4.8   Phương trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)

Giải phương trình                2x⁵  +3x⁴ -5x³ -5x²  +  3x +2=0

Phương trình  có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phương trình về dạng

( x+1) (2x⁴+x³ -6x²+x+2 )=0

Ngoài nghiệm x=-1  , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phương trình

2x⁴+x³ -6x²+x+2  =0(2) là phương trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải

Giải (2) ta được x₁ =x₂=1  ; x₃ =-2  ;x₄=-0,5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là    x₁ =x₂=1  ; x₃ =-2  ;x₄=-0,5   ;x₅=-1

Bài tập VN  : Giải các phương trình sau

1)   x³ – 4x²– 29x -24 =0                                     2)    8x³ – 20x² +28x – 10 =0

3)  x⁴– 3x³+9x² -27 x+81=0                                4,    x⁴-10x³+11x² -10x+1=0

5,  x⁴ +5x³ -14x²-20x +16 =0                              6,   x⁴ +4x³ -10 x² -28 x-15=0

4,  (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4                           h,   (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x²

7)  (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x²     nhóm  (x+2)(x+12)   (x+3) (x+8)  rồi chia 2 vế cho 4x²

                                                                            và  đặt t=x+7/x     (đk x 0)      

8)  3x⁵ -10x⁴ +3x³+3x²-10x+3=0                      9)   x⁵ +2x⁴ +3x³+3x²+2x+1=0

10) 6x⁵ -29x⁴ +27x³+27x²-29x+6=0                 11)  x⁵ +4x⁴ +3x³+3x²-4x+1=0

12)  (x²-8x+7)(x²-8x+15)=20

13)  (x²-3 x+1) (x²+3x+2) (x²-9x+20)=-30  biến đổi <=>  (x²-3 x+1) (x²-3x-4) (x²-3x-10)=-30

14)  3(x²+x) -2(x²+x ) -1=0                                 15)   (x²-4x+2)² +4x²-4x-4=0

16)   (x²-x+1)⁴-6x²(x²-x+1)²+5x⁴=0                     17)   (x+6)⁴+(x+4 )⁴ =82

18)                             19)   (x-2,5)⁴+(x-1,5)⁴ =17