b) Chứng minh rằng d: cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P = đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu II.

Giải phương trình:
Giải hệ phương trình:

Câu III

Cho .Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm thực:

Câu IV

Cho khai triển: .

Tính tổng: A=. Biết:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường tròn và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho từ điểm kẻ được 2 tiếp tuyến đến với là các tiếp điểm đồng thời đường thẳng đi qua điểm

Câu V

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên các đoạn AB và CD sao cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN.
Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và mặt cầu . Từ điểm trên kẻ 1 đường thẳng tiếp xúc với tại điểm . Xác định vị trí của điểm để độ dài đoạn thẳng bằng

————————-Hết—————————–

HƯỚNG DẪN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỀ 02

Câu

Nội dung

Điểm

2,0đ

2) Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = – 2x + m. Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P = đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:

0,5

Xét phương trình (*), ta có: và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.

0,5

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là

, trong đó , là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy (k₁>0, k₂>0)

0,5

Có P = , do dó MinP = 2²⁰¹⁴ đạt được khi

do , phân biệt nên ta có x₁ +2 = – x₂ – 2

x₁ + x₂ = – 4 m = – 2. Vậy m = – 2 là giá trị cần tìm.

0,5

II.1

2,0đ

Giải phương trình:

0, 5

0,5

Vậy pt có nghiệm là , ,

0,5

II.2

2,0đ

Giải hệ phương trình:

Ta có hệ

Xét hàm số . Ta có nên hàm số f(t) đồng biến trên .

Nếu x>y thì , vô lí

Tương tự, không thể có x<y. Vậy x=y

Thay x=y vào (1) ta được:

0,5

Vậy hệ có ba nghiệm (x;y) là: .

0,5

III.1

1,0đ

xét hàm số theo biến a: ,

0,5

Tính đạo hàm trực tiếp suy ra hàm f(a) nghịch biến trên đoạn ,

1,0

Vậy , khi ; Vậy , khi .

0,5

III.2

2,0đ

* Giải BPT: . Với , (1) tương đương với

0,5

Từ đó tìm ra hoặc .

0,5

* Giả sử là một nghiệm của PT: (2)

Khi đó PT: phải có nghiệm m

Suy ra PT: phải có nghiệm m. Do đó

Như vậy nếu (2) có nghiệm thì nghiệm lớn nhất là 2 và nghiệm nhỏ nhất là 0.

0,5

Do đó hệ (1), (2) có nghiệm khi PT (2) có nghiệm x=2.

Thay x=2 vào (2) ta được:

Vậy với thì hệ (1), (2) có nghiệm.

0,5

IV.1

1,5đ

Giải phương trình: ta được: n =9

0,5

Với n = 9 ta có

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

0, 5

Cho x = 1 ta được A=.

0,5

IV.2

2,0đ

Cách 1.

Đường tròn có tâm và bán kính

Gọi là trung điểm của

Giả sử suy ra: và Vì nên thuộc đường tròn có tâm và bán kính

0,5

Phương trình . Hay

0,5

Như vậy 2 điểm vừa thuộc đường tròn vừa thuộc đường tròn do đó tọa độ của là

nghiệm của hệ:

0,5

Do đó thuộc đường thẳng .

Hay nói cách khác là đường thẳng có phương trình:

Vì đường thẳng đi qua điểm nên ta có:

0,5

V.1

2,0đ

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên đoạn AB và đoạn CD sao cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN.

+) Đặt , với . Khi đó ta có: và

0,5

+) Ta có:

Do đó:

0,5

+) MN² =

= a² = (2x² – 2x + 1)a²

0,25

+) Xét hàm số f(x) = 2x² – 2x + 1 trên đoạn ta có:

0,25

+) MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

0,25

+) MN đạt giá trị lớn nhất bằng a khi MB, ND hoặc MA, NC.

0,25

V.2

2,0đ

Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và mặt cầu . Từ điểm trên kẻ 1 đường thẳng tiếp xúc với tại điểm . Xác định vị trí của điểm để độ dài đoạn thẳng bằng

Mặt cầu có tâm và bán kính

Vì là tiếp tuyến của mặt cầu nên

Từ đó ta tính được :

Do đó điểm thuộc mặt cầu tâm và bán kính

0,5

Vậy nên tập hợp các điểm là đường tròn chính giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng

0,5

+)Tâm của là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng và ta dễ dàng xác định được tâm là điểm

+) Bán kính của là:

0,5