Bài tập giải tích 1 (ĐH)

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vào hòm thư: [email protected]

Tổng hợp các đề cương đại học hiện có của Đại Học Hàng Hải: Đề Cương VIMARU 

Kéo xuống để Tải ngay đề cương bản PDF đầy đủ: Sau “mục lục” và “bản xem trước”

(Nếu là đề cương nhiều công thức nên mọi người nên tải về để xem tránh mất công thức)

Đề cương liên quan:Đề tài Hệ thống thông tin kế toán: Phân tích hệ thống thông tin kế toán quản lý bán hàng tại Đà Nẵng Mễ Cốc Công ty

---

Tải ngay đề cương bản PDF tại đây: Bài tập giải tích 1 (ĐH)

Chương 4. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

 

A. Lý thuyết.

• Định nghĩa hàm hai (nhiều) biến và MXĐ của hàm số. Định nghĩa và cách tính giới hạn dãy điểm, giới hạn hàm số. Định nghĩa tính liên tục của hàm số.
• Định nghĩa và cách tính đạo hàm riêng cấp 1. Biểu thức và ứng dụng cua vi phân cấp 1. Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp. Cách tính đạo hàm riêng và vi  phân cấp 2 (cấp cao).
• Định nghĩa cực trị. Các định lý điều kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (quy tắc tìm cực trị). Công thức tính đạo hàm hàm ẩn. Định nghĩa cực trị có điều kiện. Cách tìm cực trị có điều kiện. Cách tìm max và min của hàm số trên tập đóng và giới nội.

 

B. Bài tập..

1. a) b)    Tìm miền xác định của các hàm sau đây
2. c)
3. d) e)                 f)

Lời giải.

a).

1. b)
2. c) .
3. d) .
4. e) Hàm số xác định khi
5. f) Hàm số xác định khi

2. Tính các giới hạn sau đây

1. a)            b)                                       c)
2. d)                   e)         f)

Lời giải.

1. a) Từ và , theo tiêu chuẩn kẹp, ta được

.

1. b) .
2. c) .
3. d) Từ và , theo tiêu chuẩn kẹp, ta được

.

1. e) .
2. f) Do nên

.

3. Chứng minh các hàm sau đây không có giới hạn khi

1. a) b)            c)

Lời giải.

1. a) Do khi , ta có

nhưng .

1. b) Do khi , ta có

nhưng .

1. c) Do khi , ta có

nhưng .

 

4. Tính các đạo hàm hàm riêng cấp 1 và vi phân toàn phần của các hàm sau đây

1. a) b)                 c)
2. d)                                                         e)                         f)
3. g)                            h)                   i)
4. j)                              k)               l)

Lời giải.

1. a) và .
2. b) và  .
3. c) và
4. d) Ta có . Vậy

,

,

1. e) và .
2. f) và .
3. g) ,
4. h) ,.
5. i) , .

j)

*)**)

1. k)

l)

5. Chứng minh rằng

1. a) Hàm  thoả phương trình
2. b) Hàm  thoả phương trình

Lời giải.

1. a) Ta có

Khi đó

.

1. b) Ta có

.

Khi đó

.

6. Dùng biểu thức vi phân cấp 1 tính gần đúng trị của các  biểu thức

1. a)              b)                     c)

Lời giải. Trong bài này ta áp dụng công thức

.

1. a) Đặt

,

,

.

Ta được

.

1. b) Đặt

,

,

.

Khi đó

.

1. c) Đặt

,

,

.

Khi đó

.

 

7. Tính đạo hàm hàm riêng của các hàm hợp sau đây

1. a) Cho. Tính .
2. b) ChoTính
3. c) Cho . Tính .
4. d) Cho Tính .

Lời giải.

1. a) Ta có

; ; .

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được

.

1. b) ChoTính
2. c) Ta có

.

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được

.

1. d) Cho Tính .

8. Tính các đạo hàm hàm riêng và vi phân cấp 2 của các hàm sau đây

1. a) b)
2. c) d)

Lời giải.

1. a) và  .
2. b) ,

.

c),

.

d)

9. Tính đạo hàm của các hàm ẩn xác định bởi các phương trình sau đây

1. a) b)
2. c) d)

Lời giải.

1. a) Ta có

.

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn, ta được

.

1. b) .
2. c) .

10. Phương trình xác định hàm ẩn z = z(x,y). Chứng minh rằng

\

Giải

 

11. Tìm cực trị của các hàm sau đây
12. a)                            b)
13. c)                           d)
14. e) f)
15. g)                       h)
16. i) j)

Lời giải.

1. a) Tìm điểm tới hạn

.

•  Xác định điểm cực trị

.

Tại

là điểm cực đại và .

1. b) .

• .

Tại    là điểm cực tiểu và .

1. c) .

• .

Tại  Þ Hàm số không có cực trị.

1. d)

•  

Tại    là điểm cực tiểu và ;

1. e) Tìm các điểm tới hạn

.

Vậy hàm số có 9 điểm  tới hạn

.

• Xác định điểm cực trị

.

* Tại

là điểm cực đại và .

* Tại

không phải là điểm cực trị.

* Tại

không phải là điểm cực trị.

* Tại

Þ là điểm cực tiểu và .

* Tại

Þ là điểm  cực tiểu và .

1. f) .

• .

Tại    là điểm cực đại và .

1. g) Tìm điểm tới hạn

•  Xác định điểm cực trị

.

* Tại

là điểm cực tiểu và .

* Tại

không phải là điểm cực trị.

* Tại

là điểm cực tiểu và .

* Tại

không phải là điểm cực trị.

1. h) .

• .

Tại   là điểm cực tiểu và .

12. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau đây

1. a) với                                 b)  với
2. c) với                      d)  với

Lời giải.

1. a) Do

,

nên ta đưa được bài toán về bài toán tìm cực trị hàm một biến

.

Ta có

và .

Vậy hàm  đạt cực đại tại  nên hàm đạt cực đại có điều kiện tại  và  .

1. b) Do

.

nên ta đưa bài toán về bài toán tìm cực trị hàm một biến

.

Ta có

và

.

Vậy hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại

với

và đạt cực đại có điều kiện tại

với

1. c) Hàm Lagrange

• Tìm điểm tới hạn
• Xác định điểm cực trị

.

* Tại

là điểm cực đại có điều kiện.

* Tại

là điểm cực tiểu có điều kiện.

1. d) Hàm Lagrange

.

• Tìm điểm tới hạn
• Xác định điểm cực trị

.

* Tại

là điểm cực tiểu có điều kiện.

* Tại

là điểm cực đại có điều kiện.

13. Trong tất cả các  tam giác vuông có diện tích bằng 1, tìm tam giác có cạnh huyền nhỏ nhất.

Lời giải. Gọi   lần lượt là  hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông có diện tích bằng 1. Khi đó

và  .

Bài toán được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số

Ta có

Lập bảng xét dấu  ta thấy  là điểm cực tiểu của hàm số  nên hàm đạt cực tiểu tại . Vậy trong tam giác vuông có diện tích bằng 1 thì tam giác vuông cân là tamgiác có cạnh huyền nhỏ nhất và bằng 2.

15. Tính max và min của các hàm sau đây trên tập đóng và giới nội D tương ứng

1. a)với D được giới hạn bởi các đường
2. b) với
3. c)với
4. d)với

Lời giải.

1. a) Ta có

.

• Tìm điểm tới hạn trong : Ta có

.

Giải hệ phương trình

.

Vậy trong , hàm số có một điểm tới hạn  và .

• Tìm điểm tới hạn trên :

* Trên

* Trên

* Trên . Ta có hàm một biến

Trên AB, hàm số có một điểm tới hạn  và .

* Tại các điểm

So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn, ta được

đạt tại  và  đạt tại .

1. b) Tìm các điểm tới hạn trong : Ta có

và .

• Tìm các điểm tới hạn trên :

*   và .

*   và .

*

và

.

*

và

.

* Tại các đỉnh :

.

Kết luận:

.

1. c) Tìm điểm tới hạn trong : Ta có

• Tìm điểm tới hạn trên

Cách 1. Hàm Lagrange

.

Ta có

.

Kết luận

.

Cách 2.

.

Xét

.

So sánh các giá trị

ta được

.

1. d) Tìm các điểm tới hạn trong . Ta có

.

• Tìm các điểm tới hạn trên biên . Ta có

.

So sánh các giá trị

ta được

.

---

Tải xuống tài liệu học tập PDF miễn phí

Tải Xuống Tại Đây

---