Nguyeân taéc coäng : Tröôøng hôïp 1 coù m caùch choïn, tröôøng hôïp 2 coù n caùch choïn; moãi caùch choïn ñeàu thuoäc ñuùng moät tröôøng hôïp. Khi ñoù, toång soá caùch choïn laø : m + n.
Nguyeân taéc nhaân : Hieän töôïng 1 coù m caùch choïn, moãi caùch choïn naøy laïi coù n caùch choïn hieän töôïng 2. Khi ñoù, toång soá caùch choïn lieân tieáp hai hieän töôïng laø : m x n.
Hoaùn vò : Coù n vaät khaùc nhau, xeáp vaøo n choã khaùc nhau. Soá caùch xeáp : P_n = n !.
Toå hôïp : Coù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät. Soá caùch choïn :
Chænh hôïp : Coù n vaät khaùc nhau. Choïn ra k vaät, xeáp vaøo k choã khaùc nhau soá caùch :

Chænh hôïp = toå hôïp roài hoaùn vò

Tam giaùc Pascal :

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1

Tính chaát :

Nhò thöùc Newton :

a = b = 1 : …

Vôùi a, b Î {±1, ±2, …}, ta chöùng minh ñöôïc nhieàu ñaúng thöùc chöùa :

Ta chöùng minh ñöôïc nhieàu ñaúng thöùc chöùa baèng caùch :

– Ñaïo haøm 1 laàn, 2 laàn, cho x = ±1, ±2, … a = ±1, ±2, …

– Nhaân vôùi x^k , ñaïo haøm 1 laàn, 2 laàn, cho x = ±1, ±2, … , a = ±1, ±2, …

– Cho a = ±1, ±2, …, hay

Chuù yù :

* (a + b)ⁿ : a, b chöùa x. Tìm soá haïng ñoäc laäp vôùi x :

Giaûi pt : m = 0, ta ñöôïc k.

* (a + b)ⁿ : a, b chöùa caên . Tìm soá haïng höõu tyû.

Giaûi heä pt : , tìm ñöôïc k

* Giaûi pt , bpt chöùa : ñaët ñieàu kieän k, n Î N^* …, k £ n. Caàn bieát ñôn giaûn caùc giai thöøa, qui ñoàng maãu soá, ñaët thöøa soá chung.

* Caàn phaân bieät : qui taéc coäng vaø qui taéc nhaân; hoaùn vò (xeáp, khoâng boác), toå hôïp (boác, khoâng xeáp), chænh hôïp (boác roài xeáp).

* AÙp duïng sô ñoà nhaùnh ñeå chia tröôøng hôïp , traùnh truøng laép hoaëc thieáu tröôøng hôïp.

* Vôùi baøi toaùn tìm soá caùch choïn thoûa tính chaát p maø khi chia tröôøng hôïp, ta thaáy soá caùch choïn khoâng thoûa tính chaát p ít tröôøng hôïp hôn, ta laøm nhö sau :

soá caùch choïn thoûa p.

= soá caùch choïn tuøy yù – soá caùch choïn khoâng thoûa p.

Caàn vieát meänh ñeà phuû ñònh p thaät chính xaùc.

* Veù soá, soá bieân lai, baûng soá xe … : chöõ soá 0 coù theå ñöùng ñaàu (tính töø traùi sang phaûi).

* Daáu hieäu chia heát :

– Cho 2 : taän cuøng laø 0, 2, 4, 6, 8.

– Cho 4 : taän cuøng laø 00 hay 2 chöõ soá cuoái hôïp thaønh soá chia heát cho 4.

– Cho 8 : taän cuøng laø 000 hay 3 chöõ soá cuoái hôïp thaønh soá chia heát cho 8.

– Cho 3 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 3.

– Cho 9 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 9.

– Cho 5 : taän cuøng laø 0 hay 5.

– Cho 6 : chia heát cho 2 vaø 3.

– Cho 25 : taän cuøng laø 00, 25, 50, 75.

II- ĐẠI SỐ

Chuyeån veá : a + b = c Û a = c – b; ab = c Û

a/b = c Û ;

2. Giao nghieäm :

Nhieàu daáu v : veõ truïc ñeå giao nghieäm.

3. Coâng thöùc caàn nhôù :

a.: chæ ñöôïc bình phöông neáu 2 veá khoâng aâm. Laøm maát phaûi ñaët ñieàu kieän.

: phaù baèng caùch bình phöông : hay baèng ñònh nghóa :

Muõ :

log : y = log_ax , x > 0 , 0 < a ¹ 1, y Î R

y neáu a > 1, y¯ neáu 0 < a < 1, a = log_aa^a

log_a(MN) = log_aM + log_aN ()

log_a(M/N) = log_aM – log_aN ()

(Þ)

log_aM³ = 3log_aM, log_ac = log_ab.log_bc

log_bc = log_ac/log_ab,

log_a(1/M) = – log_aM, log_aM = log_aN Û M = N

Khi laøm toaùn log, neáu mieàn xaùc ñònh nôùi roäng : duøng ñieàu kieän chaën laïi, traùnh duøng coâng thöùc laøm thu heïp mieàn xaùc ñònh. Maát log phaûi coù ñieàu kieän.

4. Ñoåi bieán :

Ñôn giaûn :

Neáu trong ñeà baøi coù ñieàu kieän cuûa x, ta chuyeån sang ñieàu kieän cuûa t baèng caùch bieán ñoåi tröïc tieáp baát ñaúng thöùc.

Haøm soá : t = f(x) duøng BBT ñeå tìm ñieàu kieän cuûa t. Neáu x coù theâm ñieàu kieän, cho vaøo mieàn xaùc ñònh cuûa f.
Löôïng giaùc : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Duøng pheùp chieáu löôïng giaùc ñeå tìm ñieàu kieän cuûa t.
Haøm soá hôïp : töøng böôùc laøm theo caùc caùch treân.

5. Xeùt daáu :

Ña thöùc hay phaân thöùc höõu tyû, daáu A/B gioáng daáu A.B; beân phaûi cuøng daáu heä soá baäc cao nhaát; qua nghieäm ñôn (boäi leû) : ñoåi daáu; qua nghieäm keùp (boäi chaün) : khoâng ñoåi daáu.
Bieåu thöùc f(x) voâ tyû : giaûi f(x) < 0 hay f(x) > 0.
Bieåu thöùc f(x) voâ tyû maø caùch b khoâng laøm ñöôïc : xeùt tính lieân tuïc vaø ñôn ñieäu cuûa f, nhaåm 1 nghieäm cuûa pt f(x) = 0, phaùc hoïa ñoà thò cuûa f , suy ra daáu cuûa f.

6. So saùnh nghieäm phöông trình baäc 2 vôùi a :

f(x) = ax² + bx + c = 0 (a 0)

* S = x₁ + x₂ = – b/a ; P = x₁x₂ = c/a

Duøng S, P ñeå tính caùc bieåu thöùc ñoái xöùng nghieäm. Vôùi ñaúng thöùc g(x₁,x₂) = 0 khoâng ñoái xöùng, giaûi heä pt :

Bieát S, P thoûa S² – 4P ³ 0, tìm x₁, x₂ töø pt : X² – SX + P = 0

* Duøng D, S, P ñeå so saùnh nghieäm vôùi 0 :

x₁ < 0 < x₂ Û P < 0, 0 < x₁ < x₂ Û

x₁ < x₂ < 0 Û

* Duøng D, af(a), S/2 ñeå so saùnh nghieäm vôùi a : x₁ < a < x₂ Û af(a) < 0

a < x₁ < x₂ Û ; x₁ < x₂ < a Û

a < x₁ < b < x₂ Û ; x₁ < a < x₂ < b Û

7. Phöông trình baäc 3 :

Vieâte : ax³ + bx² + cx + d = 0

x₁ + x₂ + x₃ = – b/a , x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a , x₁.x₂.x₃ = – d/a

Bieát x₁ + x₂ + x₃ = A , x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = B , x₁.x₂.x₃ = C

thì x₁, x₂, x₃ laø 3 nghieäm phöông trình : x³ – Ax² + Bx – C = 0

Soá nghieäm phöông trình baäc 3 :

x = a Ú f(x) = ax² + bx + c = 0 (a ¹ 0) :

3 nghieäm phaân bieät Û

2 nghieäm phaân bieät Û

1 nghieäm Û

Phöông trình baäc 3 khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng söï töông giao giöõa (C) : y = f(x) vaø (d) : y = m.
Phöông trình baäc 3 khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m khoâng taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng söï töông giao giöõa (C_m) : y = f(x, m) vaø (Ox) : y = 0

3 nghieäm Û

2 nghieäm Û

1 nghieäm Û D_y’ £ 0 Ú

Phöông trình baäc 3 coù 3 nghieäm laäp thaønh CSC :

So saùnh nghieäm vôùi a :

x = x_o Ú f(x) = ax² + bx + c = 0 (a ¹ 0) : so saùnh nghieäm phöông trình baäc 2 f(x) vôùi a.
Khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng söï töông giao cuûa f(x) = y: (C) vaø y = m: (d) , ñöa a vaøo BBT.
Khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m khoâng taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng söï töông giao cuûa (C_m) : y = ax³ + bx² + cx + d (coù m) ,(a > 0) vaø (Ox)

a < x₁ < x₂ < x₃ Û

x₁ < a < x₂ < x₃ Û

x₁ < x₂ < a < x₃ Û

x₁ < x₂ < x₃ < a Û

8. Phöông trình baäc 2 coù ñieàu kieän :

f(x) = ax² + bx + c = 0 (a ¹ 0), x ¹ a

2 nghieäm Û , 1 nghieäm Û

Voâ nghieäm Û D < 0 Ú

Neáu a coù tham soá, xeùt theâm a = 0 vôùi caùc tröôøng hôïp 1 nghieäm, VN.

9. Phöông trình baäc 4 :

Truøng phöông : ax⁴ + bx² + c = 0 (a ¹ 0) Û

t = x² Û x = ±

4 nghieäm Û ; 3 nghieäm Û

2 nghieäm Û ; 1 nghieäm Û

VN Û D < 0 Ú Û D < 0 Ú

4 nghieäm CSC Û

Giaûi heä pt :

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0. Ñaët t = x + . Tìm ñk cuûa t baèng BBT :
ax⁴ + bx³ + cx² – bx + a = 0. Ñaët t = x – . Tìm ñk cuûa t baèng BBT : t Î R.
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e vôùi a + b = c + d. Ñaët : t = x² + (a + b)x. Tìm ñk cuûa t baèng BBT.
(x + a)⁴ + (x + b)⁴ = c. Ñaët : , t Î R.

Heä phöông trình baäc 1 : . Tính :

D = , D_x = , D_y =

D ¹ 0 : nghieäm duy nhaát x = D_x/D , y = D_y/D.

D = 0, D_x ¹ 0 Ú D_y ¹ 0 : VN

D = D_x = D_y = 0 : VSN hay VN (giaûi heä vôùi m ñaõ bieát).

Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi 1 :

Töøng phöông trình ñoái xöùng theo x, y. Ñaït S = x + y, P = xy.

ÑK : S² – 4P ³ 0. Tìm S, P. Kieåm tra ñk S² – 4P ³ 0;

Theá S, P vaøo pt : X² – SX + P = 0, giaûi ra 2 nghieäm laø x vaø y.

(a, b) laø nghieäm thì (b, a) cuõng laø nghieäm; nghieäm duy nhaát

Þ a = b Þ m = ?

Thay m vaøo heä, giaûi xem coù duy nhaát nghieäm khoâng.

Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi 2 :

Phöông trình naøy ñoái xöùng vôùi phöông trình kia. Tröø 2 phöông trình, duøng caùc haèng ñaúng thöùc ñöa veà phöông trình tích A.B = 0.

Nghieäm duy nhaát laøm nhö heä ñoái xöùng loaïi 1.

Heä phöông trình ñaúng caáp :

Xeùt y = 0. Xeùt y ¹ 0 : ñaët x = ty, chia 2 phöông trình ñeå khöû t. Coøn 1 phöông trình theo y, giaûi ra y, suy ra t, suy ra x. Coù theå xeùt x = 0, xeùt x ¹ 0, ñaët y = tx.

Baát phöông trình, baát ñaúng thöùc :

* Ngoaøi caùc baát phöông trình baäc 1, baäc 2, daïng cô baûn cuûa , log, muõ coù theå giaûi tröïc tieáp, caùc daïng khaùc caàn laäp baûng xeùt daáu. Vôùi baát phöông trình daïng tích AB < 0, xeùt daáu A, B roài AB.

* Nhaân baát phöông trình vôùi soá döông : khoâng ñoåi chieàu

soá aâm : coù ñoåi chieàu

Chia baát phöông trình : töông töï.

* Chæ ñöôïc nhaân 2 baát pt veá theo veá , neáu 2 veá khoâng aâm.

* Baát ñaúng thöùc Coâsi :

a, b ³ 0 :

Daáu = xaûy ra chæ khi a = b.

a, b, c ³ 0 :

Daáu = xaûy ra chæ khi a = b = c.

* Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki : a, b, c, d

(ac + bd)² £ (a² + b²).(c² + d²); Daáu = xaûy ra chæ khi a/b = c/d

Baøi toaùn tìm m ñeå phöông trình coù k nghieäm :

Neáu taùch ñöôïc m, duøng söï töông giao cuûa (C) : y = f(x) vaø (d) : y = m. Soá nghieäm baèng soá ñieåm chung.

Neáu coù ñieàu kieän cuûa x Î I, laäp BBT cuûa f vôùi x Î I.

Baøi toaùn tìm m ñeå baát pt voâ nghieäm, luoân luoân nghieäm, coù nghieäm x Î I :

Neáu taùch ñöôïc m, duøng ñoà thò, laäp BBT vôùi x Î I.

f(x) £ m : (C) döôùi (d) (hay caét)

f(x) ³ m : (C) treân (d) (hay caét)

III- LƯỢNG GIÁC

Ñöôøng troøn löôïng giaùc :

Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc, goùc a ñoàng nhaát vôùi cung AM, ñoàng nhaát vôùi ñieåm M. Ngöôïc laïi, 1 ñieåm treân ñöôøng troøn löôïng giaùc öùng vôùi voâ soá caùc soá thöïc x + k2p.

Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc, naém vöõng caùc goùc ñaëc bieät : boäi cuûa ( cung phaàn tö) vaø ( cung phaàn tö)

x = a + : a laø 1 goùc ñaïi dieän, n : soá ñieåm caùch ñeàu treân ñöôøng troøn löôïng giaùc.

Haøm soá löôïng giaùc :

Cung lieân keát :

* Ñoåi daáu, khoâng ñoåi haøm : ñoái, buø, hieäu p (öu tieân khoâng ñoåi daáu : sin buø, cos ñoái, tg cotg hieäu p).

* Ñoåi haøm, khoâng ñoåi daáu : phuï

* Ñoåi daáu, ñoåi haøm : hieäu (sin lôùn = cos nhoû : khoâng ñoåi daáu).

Coâng thöùc :
Cô baûn : ñoåi haøm, khoâng ñoåi goùc.
Coäng : ñoåi goùc a ± b, ra a, b.
Nhaân ñoâi : ñoåi goùc 2a ra a.
Nhaân ba : ñoåi goùc 3a ra a.
Haï baäc : ñoåi baäc 2 ra baäc 1. Coâng thöùc ñoåi baäc 3 ra baäc 1 suy töø coâng thöùc nhaân ba.
Ñöa veà : ñöa löôïng giaùc veà ñaïi soá.
Toång thaønh tích : ñoåi toång thaønh tích vaø ñoåi goùc a, b thaønh (a ± b) / 2.
Tích thaønh toång : ñoåi tích thaønh toång vaø ñoåi goùc a, b thaønh a ± b.

Phöông trình cô baûn : sina = 0Û cosa = – 1 hay cosa = 1Û a = kp,

sina = 1 Û a = + k2p; sina = –1 Û a = – + k2p,

cosa = 0 Û sina = –1 hay sina = 1 Û a = + kp,

cosa = 1 Û a = k2p, cosa = – 1 Û a = p + k2p

sinu = sinv Û u = v + k2p Ú u = p – v + k2p

cosu = cosv Û u = ± v + k2p

tgu = tgv Û u = v + kp

cotgu = cotgv Û u = v + kp

Phöông trình baäc 1 theo sin vaø cos : asinu + bcosu = c

* Ñieàu kieän coù nghieäm : a² + b² ³ c²

* Chia 2 veá cho , duøng coâng thöùc coäng ñöa veà phöông trình cô baûn.

(caùch khaùc : ñöa veà phöông trình baäc 2 theo )

Phöông trình ñoái xöùng theo sin, cos :

Ñöa caùc nhoùm ñoái xöùng veà sin + cos vaø sin.cos.

Ñaët : t = sinu + cosu =

Phöông trình chöùa ½sinu + cosu½ vaø sinu.cosu :

Ñaët :

Phöông trình chöùa sinu – cosu vaø sinu.cosu :

Ñaët :

Phöông trình chöùa ½sinu – cosu½ vaø sinu.cosu :

Ñaët :

Phöông trình toaøn phöông (baäc 2 vaø baäc 0 theo sinu vaø cosu) :

Xeùt cosu = 0; xeùt cosu ¹ 0, chia 2 veá cho cos²u, duøng coâng thöùc

1/cos²u = 1 + tg²u, ñöa veà phöông trình baäc 2 theo t = tgu.

Phöông trình toaøn phöông môû roäng :

* Baäc 3 vaø baäc 1 theo sinu vaø cosu : chia 2 veá cho cos³u.

* Baäc 1 vaø baäc – 1 : chia 2 veá cho cosu.

Giaûi phöông trình baèng caùch ñoåi bieán :

Neáu khoâng ñöa ñöôïc phöông trình veà daïng tích, thöû ñaët :

* t = cosx : neáu phöông trình khoâng ñoåi khi thay x bôûi – x.

* t = sinx : neáu phöông trình khoâng ñoåi khi thay x bôûi p – x.

* t = tgx : neáu phöông trình khoâng ñoåi khi thay x bôûi p + x.

* t = cos2x : neáu caû 3 caùch treân ñeàu ñuùng

* t = tg : neáu caû 3 caùch treân ñeàu khoâng ñuùng.

Phöông trình ñaëc bieät :

* sinu.cosv = 1 Û

* sinu.cosv = – 1 Û

Töông töï cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.

Heä phöông trình : Vôùi F(x) laø sin, cos, tg, cotg
Daïng 1 : . Duøng coâng thöùc ñoåi + thaønh nhaân,

theá (2) vaøo (1) ñöa veà heä phöông trình :

Daïng 2 : . Töông töï daïng 1, duøng coâng thöùc ñoåi nhaân thaønh +.
Daïng 3 : .

Duøng tæ leä thöùc : bieán ñoåi phöông trình (1) roài duøng

coâng thöùc ñoåi + thaønh x.

Daïng khaùc : tìm caùch phoái hôïp 2 phöông trình, ñöa veà caùc pt cô baûn.
Toaùn D :

* Luoân coù saün 1 pt theo A, B, C : A + B + C = p

* A + B buø vôùi C, (A + B)/2 phuï vôùi C/2.

* A, B, C Î (0, p) ; A/2, B/2, C/2 Î (0, p/2)

A + B Î (0, p) ; (A + B)/2 Î (0, p/2) ;

A – B Î (– p, p) , (A – B)/2 Î (– p/2, p/2)

Duøng caùc tính chaát naøy ñeå choïn k.

* Ñoåi caïnh ra goùc (ñoâi khi ñoåi goùc ra caïnh) : duøng ñònh lyù haøm sin :

a = 2RsinA hay ñònh lyù haøm cos : a² = b² + c² – 2bc.cosA

* Trung tuyeán :

* Phaân giaùc : ℓ_a =

IV- TÍCH PHÂN

Ñònh nghóa, coâng thöùc, tính chaát :

* F laø 1 nguyeân haøm cuûa f Û f laø ñaïo haøm cuûa F.

Hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa f :

= F(x) + C (C Î R)

* , a ¹ – 1

;

Tích phaân töøng phaàn :

Thöôøng duøng khi tính tích phaân caùc haøm hoãn hôïp.

töøng phaàn 2 laàn, giaûi phöông trình aån haøm ʃ

Caùc daïng thöôøng gaëp :
: u = sinx.

: u = cosx.

: haï baäc veà baäc 1

: u = tgx (n ³ 0)

: u = cotgx (n ³ 0)

chöùa a² – u² : u = asint

chöùa u² – a² : u = a/cost

chöùa a² + u² : u = atgt

, R : haøm höõu tyû

R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx

R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx

R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx Ú u = cotgx

R ñôn giaûn :

, R laø haøm höõu tyû :
chöùa (a + bx^k)^m/n : thöû ñaët uⁿ = a + bx^k.

Tích phaân haøm soá höõu tyû :

: baäc P < baäc Q

* Ñöa Q veà daïng tích cuûa x + a, (x + a)ⁿ, ax² + bx + c (D < 0)

* Ñöa P/Q veà daïng toång caùc phaân thöùc ñôn giaûn, döïa vaøo caùc thöøa soá cuûa Q :

Tính dieän tích hình phaúng :
D giôùi haïn bôûi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :

f(x) : phaân thöùc höõu tæ : laäp BXD f(x) treân [a,b] ñeå môû ½.½; f(x) : haøm löôïng giaùc : xeùt daáu f(x) treân cung [a, b] cuûa ñöôøng troøn löôïng giaùc.

D giôùi haïn bôûi x = a, x = b , (C) : y = f(x)

(C’) : y = g(x) :

Xeùt daáu f(x) – g(x) nhö tröôøng hôïp a/.

D giôùi haïn bôûi (C₁) : f₁(x, y) = 0 , (C₂) : f₂ (x, y) = 0

Vôùi tröôøng hôïp a) : neáu bieân treân hay bieân döôùi bò gaõy, ta caét D baèng caùc ñöôøng thaúng ñöùng ngay choã gaõy.

Vôùi tröôøng hôïp b) : neáu bieân phaûi hay bieân traùi bò gaõy, ta caét D baèng caùc ñöôøng ngang ngay choã gaõy.

Choïn tính theo dx hay dy ñeå ò deã tính toaùn hay D ít bò chia caét.

Caàn giaûi caùc heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm.

Caàn bieát veõ ñoà thò caùc hình thöôøng gaëp : caùc haøm cô baûn, caùc ñöôøng troøn, (E) , (H), (P), haøm löôïng giaùc, haøm muõ, haøm .

Caàn bieát ruùt y theo x hay x theo y töø coâng thöùc f(x,y) = 0 vaø bieát choïn hay

Tính theå tích vaät theå troøn xoay :
D nhö 5.a/ xoay quanh (Ox) :

Chuù yù : xoay quanh (Ox) : ò …dx ; xoay quanh (Oy) : ò … dy.

V- KHẢO SÁT HÀM SỐ

Tìm lim daïng , daïng 1 ^¥ :
Phaân thöùc höõu tyû :
Haøm lg :
Haøm chöùa caên : , duøng löôïng lieân hieäp :

a² – b² = (a – b)(a + b) ñeå phaù , a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) ñeå phaù

Haøm chöùa muõ hay log (daïng 1^¥) : duøng coâng thöùc
Ñaïo haøm :
Tìm ñaïo haøm baèng ñònh nghóa :

Taïi ñieåm x_o maø f ñoåi coâng thöùc, phaûi tìm ñaïo haøm töøng phía :

Neáu thì f coù ñaïo haøm taïi x_o.

YÙ nghóa hình hoïc :

k = tga = f^/(x_M)

f^/ + : f , f^/ – : f ¯

f^// + : f loõm , f^// – : f loài

f ñaït CÑ taïi M Û

f ñaït CT taïi M Û

M laø ñieåm uoán cuûa f Û f^//(x_M) = 0 vaø f^// ñoåi daáu khi qua x_M.

Tính ñaïo haøm baèng coâng thöùc : C^/ = 0, (x^a)^/ = ax^a^–1 , (lnx)^/ = 1/x , , (e^x)^/ = e^x

(a^x)^/ = a^x.lna, (sinx)^/ = cosx , (cosx)^/ = – sinx, (tgx)^/ = 1/cos²x,

(cotgx)^/ = –1/sin²x, (ku)^/ = ku^/ , (u ±v)^/ = u^/ ± v^/, (uv)^/ = u^/v + uv^/ ,

(u/v)^/ = (u^/v – uv^/)/v²

* Haøm hôïp : (g_of)^/ = g^/[f(x)] . f^/(x)

* Ñaïo haøm loâgarit : laáy log (ln : cô soá e) 2 veá , roài ñaïo haøm 2 veá; aùp duïng vôùi haøm [f(x)]^g(x) hay f(x) daïng tích, thöông, chöùa …

Vi phaân : du = u^/dx
Tieäm caän :

x	a

y

Þ x = a : tcñ

x

y	b b

Þ y = b : tcn

x

y

Þ y = ax + b : tcx

* Veõ ñoà thò coù tieäm caän :

– t c ñ : khi y caøng tieán veà ± ¥ thì ñöôøng cong caøng gaàn ñöôøng t c .

– t c x :khi x vaø y caøng tieán veà ± ¥ thì ñöôøng cong caøng gaàn ñöôøng t c.

– t c n :khi x caøng tieán veà ± ¥ thì ñöôøng cong caøng gaàn ñöôøng t c.

* Xeùt

Coù tcñ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ¹ 0
Coù tcn khi baäc P £ baäc Q : vôùi x ® ¥, tìm lim y baèng caùch laáy soá haïng baäc cao nhaát cuûa P chia soá haïng baäc cao nhaát cuûa Q.
Coù tcx khi P hôn Q 1 baäc, khi ñoù chia ña thöùc ta coù : , tcx laø y = ax + b. Neáu Q = x – a, coù theå chia Honer.

* Bieän luaän tieäm caän haøm baäc 2 / baäc 1 :

( d ¹ 0 )

a ¹ 0, c ¹ 0 : coù tcñ, tcx
a = 0, c ¹ 0 : coù tcn, tcñ.
c = 0 : (H) suy bieán thaønh ñt, khoâng coù tc.

Ñoà thò caùc haøm thöôøng gaëp :

a/ y = ax + b :

b/ y = ax² + bx + c

c/ y = ax³ + bx² + c + d

a> 0 :

a < 0 :

d/ y = ax⁴ + bx² + c

a > 0

a < 0

e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ¹ 0)

ad – bc > 0 ad – bc < 0

f/ y = (ad ¹ 0)

ad > 0

ad < 0

ÑOÁI XÖÙNG ÑOÀ THÒ :

g(x) = f(–x) : ñx qua (Oy)

g(x) = – f(x) : ñx qua (Ox)

(C^/) : y = : giöõ nguyeân phaàn (C) beân treân y = 0, laáy phaàn (C) beân döôùi y = 0 ñoái xöùng qua (Ox).

(C^/) : y = : giöõ nguyeân phaàn (C) beân phaûi x = 0, laáy phaàn (C) beân phaûi x = 0 ñoái xöùng qua (Oy).

ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT CUÛA (Cm) : y = f(x, m)

a/ Ñieåm coá ñònh : M(x_o, y_o) Î (Cm), “m Û y_o = f(x_o, m), “m Û Am + B = 0, “m (hay Am² + Bm + C = 0, “m) Û (hay ). Giaûi heä, ñöôïc M.

b/ Ñieåm (Cm) khoâng ñi qua, “m : M(x_o, y_o) Ï (Cm), “m Û y_o ¹ f(x_o,m), “m Û y_o = f(x_o, m) VN m Û Am + B = 0 VN m (hay Am² + Bm + C = 0 VN m) Û (hay ). Giaûi heä , ñöôïc M.

Chuù yù : VN Û B = 0 Ú

c/ Ñieåm coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua : Coù n ñöôøng (Cm) qua M(x_o, y_o) Û y_o = f(x_o, m) coù n nghieäm m. Caàn naém vöõng ñieàu kieän coù n nghieäm cuûa caùc loaïi phöông trình : baäc 2, baäc 2 coù ñieàu kieän x ¹ a, baäc 3, truøng phöông.

TIEÁP XUÙC, PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN :
(C) : y = f(x), tx (C^/) : y = g(x) khi heä phöông trình sau coù nghieäm : . Nghieäm x cuûa heä laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm.
Tìm tieáp tuyeán vôùi (C) : y = f(x)

* Taïi M(x_o, y_o) : y = f'(x_o)(x – x_o) + y_o.

* Qua M (x_o, y_o): vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua M : (d) : y = k(x – x_o) + y_o. Duøng ñieàu kieän tx tìm k. Soá löôïng k = soá löôïng tieáp tuyeán (neáu f baäc 3 hay baäc 2 / baäc 1 thì soá nghieäm x trong heä phöông trình ñk tx = soá löôïng tieáp tuyeán).

* // (D) : y = ax + b : (d) // (D) Þ (d) : y = ax + m. Tìm m nhôø ñk tx.

* ^ (D) : y = ax + b (a ¹ 0) : (d) ^ (D) Þ (d) : y = x + m. Tìm m nhôø ñk tx.

Baøi toaùn soá löôïng tieáp tuyeán : tìm M Î (C^/) : g(x, y) = 0 sao cho töø M keû ñöôïc ñeán (C) ñuùng n tieáp tuyeán (n = 0, 1, 2, …), M(x_o,y_o) Î (C^/) Û g(x_o,y_o) = 0; (d) qua M : y = k(x – x_o) + y_o; (d) tx (C) : (1). Theá k vaøo (1) ñöôïc phöông trình aån x, tham soá x_o hay y_o. Ñaët ñk ñeå phöông trình naøy coù n nghieäm x (soá nghieäm x = soá tieáp tuyeán), tìm ñöôïc x_o hay y_o.
TÖÔNG GIAO :

* Phöông trình hñ ñieåm chung cuûa (C) : y = f(x) vaø (C^/) : y = g(x) laø : f(x) = g(x). Soá nghieäm pt = soá ñieåm chung.

* Tìm m ñeå (C_m) : y = f(x, m) vaø (C^/_m) : y = g(x, m) coù n giao ñieåm : Vieát phöông trình hoaønh ñoä ñieåm chung; ñaët ñk ñeå pt coù n nghieäm. Neáu pt hoaønh ñoä ñieåm chung taùch ñöôïc m sang 1 veá : F(x) = m : ñaët ñieàu kieän ñeå (C) : y = F(x) vaø (d) : y = m coù n ñieåm chung.

* Bieän luaän söï töông giao cuûa (C_m) vaø (C^/_m) :

Neáu pt hñ ñieåm chung daïng : F(x) = m : laäp BBT cuûa F; soá ñieåm chung cuûa (C_m) vaø (C^/_m) = soá ñieåm chung cuûa (C) vaø (d).
PThñ ñieåm chung, khoâng taùch ñöôïc m, daïng f(x) = ax² + bx + c = 0 (x ¹ a) hay daïng baäc 3 : x = a Ú f(x) = 0 : laäp D, xeùt daáu D, giaûi pt f(x) = 0 ñeå bieát m naøo thì a laø nghieäm cuûa f, vôùi m ñoù, soá nghieäm bò bôùt ñi 1.

CÖÏC TRÒ :

* f coù ñuùng n cöïc trò Û f^/ ñoåi daáu n laàn.

* f ñaït cöïc ñaïi taïi x_o Û

f ñaït cöïc tieåu taïi x_o Û

* f baäc 3 (hay baäc 2 / baäc 1) coù cöïc trò Û f coù CÑ vaø CT Û > 0

* f baäc 3 (hay baäc 2 / baäc 1) coù cöïc trò :

Beân phaûi (d) : x = a Û y^/ = 0 coù 2 nghieäm a < x₁ < x₂.
Beân traùi (d) : x = a Û y^/ = 0 coù 2 nghieäm x₁ < x₂ < a .
1 beân (Ox) Û
2 beân (Ox) Û

* Vôùi haøm baäc 2 / baäc 1, caùc ñieàu kieän y_CÑ.y_CT < 0 (>0) coù theå thay bôûi y = 0 VN (coù 2 nghieäm.).

* Tính y_CÑ.y_CT :

Haøm baäc 3 : y = y^/ (Ax + B) + (Cx + D)

y_CÑ.y_CT = (Cx_CÑ + D).(Cx_CT + D), duøng Vieøte vôùi pt y^/ = 0.

Haøm baäc 2/ baäc 1 :

y_CÑ.y_CT = , duøng Vieøte vôùi pt y^/ = 0.

* Ñöôøng thaúng qua CÑ, CT :

Haøm baäc 3 : y = Cx + D
Haøm baäc 2 / baäc 1 : y = u^/ / v^/

* y = ax⁴ + bx² + c coù 1 cöïc trò Û ab ³ 0, 3 cöïc trò Û ab < 0

ÑÔN ÑIEÄU :
Bieän luaän söï bieán thieân cuûa haøm baäc 3 :
i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)
ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm)

iii) a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x₁, x₂ vôùi x₁ < x₂

Þ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x₁ vaø ñaït cöïc tieåu taïi x₂.

Ngoaøi ra ta coøn coù :

+ x₁ + x₂ = 2x₀ vôùi x₀ laø hoaønh ñoä ñieåm uoán.

+ haøm soá taêng treân (-¥, x₁)

+ haøm soá taêng treân (x₂, +¥)

+ haøm soá giaûm treân (x₁, x₂)

iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x₁, x₂ vôùi x₁ < x₂

Þ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x₁ vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x₂ thoûa ñieàu kieän x₁ + x₂ = 2x₀ (x₀ laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù :

+ haøm soá giaûm treân (-¥, x₁)

+ haøm soá giaûm treân (x₂, +¥)

+ haøm soá taêng treân (x₁, x₂)

Bieän luaän söï bieán thieân cuûa y =
i) Neáu a.m > 0 vaø y^/ = 0 voâ nghieäm thì haøm taêng ( ñoàng bieán) treân töøng khoûang xaùc ñònh.
ii) Neáu a.m < 0 vaø y^/ = 0 voâ nghieäm thì haøm giaûm ( nghòch bieán) treân töøng khoûang xaùc ñònh.

iii) Neáu a.m > 0 vaø y^/ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x₁, x₂thì haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x₁ vaø ñaït cöïc tieåu taïi x₂ thoûa x₁< x₂ vaø .

iv) Neáu a.m < 0 vaø y^/ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x₁, x₂ thì haøm ñaït cöïc tieåu taïi x₁ vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x₂ thoûa x₁< x₂ vaø .
Tìm m ñeå haøm soá baäc 3, baäc 2/baäc 1 ñoàng bieán (nghòch bieán) treân mieàn x Î I : ñaët ñk ñeå I naèm trong mieàn ñoàng bieán (nghòch bieán) cuûa caùc BBT treân; so saùnh nghieäm pt baäc 2 y^/ = 0 vôùi a.
BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM PT BAÈNG ÑOÀ THÒ :
Cho pt : F(x, m) = 0; taùch m sang 1 veá : f(x) = m; laäp BBT cuûa f (neáu f ñaõ khaûo saùt thì duøng ñoà thò cuûa f), soá nghieäm = soá ñieåm chung.
Vôùi pt muõ, log, , löôïng giaùc : ñoåi bieán; caàn bieát moãi bieán môùi t ñöôïc maáy bieán cuõ x; caàn bieát ñk cuûa t ñeå caét bôùt ñoà thò f.
QUYÕ TÍCH ÑIEÅM DI ÑOÄNG M(x_o, y_o) :

Döïa vaøo tính chaát ñieåm M, tìm 2 ñaúng thöùc chöùa x_o, y_o, m; khöû m, ñöôïc F(x_o, y_o) = 0; suy ra M Î (C) : F(x, y) = 0; giôùi haïn quyõ tích : M toàn taïi Û m ? x_o ? (hay y_o ?)

Neáu x_o = a thì M Î (d) : x = a.
Neáu y_o = b thì M Î (d) : y = b.

TAÂM, TRUÏC, CAËP ÑIEÅM ÑOÁI XÖÙNG :
CM haøm baäc 3 coù taâm ñx (ñieåm uoán), haøm baäc 2/baäc 1 coù taâm ñx (gñ 2 tc)

taïi I : ñoåi toïa ñoä : x = X + x_I, y = Y + y_I; theá vaøo haøm soá : Y = F(X), cm :

F(–x) = – F(x), suy ra F laø haøm leû, ñoà thò coù tñx laø goác toïa ñoä I.

CM haøm baäc 4 coù truïc ñx // (Oy) : giaûi pt y^/ = 0; neáu x = a laø nghieäm duy nhaát hay laø nghieäm chính giöõa cuûa 3 nghieäm : ñoåi toïa ñoä x = X + a, y = Y; theá vaøo haøm soá : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F laø haøm chaün, ñoà thò coù truïc ñoái xöùng laø truïc tung X = 0, töùc x = a.
Tìm treân (C) : y = f(x) caëp ñieåm M, N ñoái xöùng qua I : giaûi heä 4 pt 4 aån :

Tìm treân (C) : y = f(x) caëp ñieåm ñ/x qua ñt (d) : y = ax + b : dt ^ (d) laø

(d’) : y = – x + m; laäp pt hñ ñieåm chung cuûa (C) vaø (d’); giaû söû pt coù 2 nghieäm x_A, x_B, tính toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB theo m; A, B ñoái xöùng qua (d) Û I Î (d)

Û m?; thay m vaøo pthñ ñieåm chung, giaûi tìm x_A, x_B, suy ra y_A, y_B.

Tìm ñieåm M Î (C) : y = ax + b + coù toïa ñoä nguyeân (a, b, c, d, e Î Z) : giaûi heä Û

Tìm min, max cuûa haøm soá y = f(x)

Laäp BBT, suy ra mieàn giaù trò vaø min, max.

Giaûi baát phöông trình baèng ñoà thò :

f < g Û a < x < b, f > g Û

f £ g Û a £ x £ b , f ³ g Û

VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Toïa ñoä , vectô :

* (a,b) ± (a^/, b^/) = (a ± a^/, b ± b^/)

k(a, b) = (ka, kb)

(a, b) = (a^/, b^/) Û

(a, b).(a^/,b^/) = aa^/ + bb^/

M chia AB theo tæ soá k Û

Û (k ¹ 1)

M : trung ñieåm AB Û

M : troïng taâm DABC Û

(töông töï cho vectô 3 chieàu).

* Vectô 3 chieàu coù theâm tích coù höôùng vaø tích hoãn hôïp :

* Û = 0 ; = 0 ; ñoàng phaúng

A, B, C thaúng haøng Û

* D trong mp : H laø tröïc taâm Û

H laø chaân ñöôøng cao h_a Û

M laø chaân phaân giaùc trong Û

M laø chaân phaân giaùc ngoøai Û

I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Û IA = IB = IC.

I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp Û I laø chaân phaân giaùc trong cuûa DABM vôùi M laø chaân phaân giaùc trong cuûa DABC.

Ñöôøng thaúng trong mp :

* Xaùc ñònh bôûi 1 ñieåm M(x_o,y_o) vaø 1vtcp = (a,b) hay 1 phaùp vectô (A,B) :

(d) :

(d) : A(x – x_o) + B(y – y_o) = 0

* (d) qua A(a, 0); B(0,b) :

* (AB) :

* (d) : Ax + By + C = 0 coù

* (d) // (D) : Ax + By + C = 0 Þ (d) : Ax + By + = 0

* (d) ^ (D) Þ (d) : – Bx + Ay + C^/ = 0

* (d), (d^/) taïo goùc nhoïn j thì :

cosj =

* d(M,(d)) =

* Phaân giaùc cuûa (d) : Ax + By + C = 0 vaø (d^/) : A^/x + B^/y + C^/ = 0 laø :

> 0 : phaân giaùc goùc tuø + , nhoïn –

< 0 : phaân giaùc goùc tuø – , nhoïn +

* Töông giao : Xeùt hpt toïa ñoä giao ñieåm.

Maët phaúng trong khoâng gian :

* Xaùc ñònh bôûi 1 ñieåm M(x_o, y_o, z_o) vaø 1 phaùp vectô : = (A, B, C) hay 2 vtcp .

(P) : A(x – x_o) + B(y – y_o) + C(z – z_o) = 0

= []

(P) : Ax + By + Cz + D = 0 coù = (A, B, C).

(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) (P) : x/a + y/b + z/c = 1

* Cho M(x_o, y_o, z_o), (P) : Ax + By + Cz + D = 0

d(M,(P)) =

* (P) , (P^/) taïo goùc nhoïn j thì : cos =

* (P) ^ (P^/) Û , (P) // (P^/) Û

Ñöôøng thaúng trong khoâng gian :

* Xaùc ñònh bôûi 1 ñieåm M (x_o, y_o, z_o) vaø 1 vtcp = (a, b, c) hay 2 phaùp vectô : :

(d) :

* (AB) :

* (d) = (P) Ç (P^/) :

* (d) qua A, vtcp thì :

d(M,(d)) =

* j laø goùc nhoïn giöõa (d), (d^/) thì :

cosj =

* j laø goùc nhoïn giöõa (d), (P) thì :

sinj =

* (d) qua M, vtcp , (P) coù pvt :

(d) caét (P) Û ¹ 0

(d) // (P) Û = 0 vaø M Ï (P)

(d) Ì (P) Û = 0 vaø M Î (P)

* (d) qua A, vtcp ; (d ^/) qua B, vtcp :

(d) caét (d^/) Û [] ¹ , = 0

(d) // (d^/) Û [] = , A Ï (d^/)

(d) cheùo (d^/) Û [] ¹ , ¹ 0

(d) º (d^/) Û [] = , A Î (d^/)

* (d) cheùo (d^/) : d(d, d^/) =

* (d) cheùo (d^/) , tìm ñöôøng ^ chung (D) : tìm ; tìm (P) chöùa (d), // ; tìm (P^/) chöùa (d^/), // ; (D) = (P) Ç (P^/).

* (d) ^ (P), caét (d^/) Þ (d) naèm trong mp ^ (P), chöùa (d^/).

* (d) qua A, // (P) Þ (d) naèm trong mp chöùa A, // (P).

* (d) qua A, caét (d^/) Þ (d) naèm trong mp chöùa A, chöùa (d^/).

* (d) caét (d^/), // (d^//) Þ (d) naèm trong mp chöùa (d^/), // (d^//).

* (d) qua A, ^ (d^/) Þ (d) naèm trong mp chöùa A, ^ (d^/).

* Tìm hc H cuûa M xuoáng (d) : vieát pt mp (P) qua M, ^ (d), H = (d) Ç (P).

* Tìm hc H cuûa M xuoáng (P) : vieát pt ñt (d) qua M, ^ (P) : H = (d) Ç (P).

* Tìm hc vuoâng goùc cuûa (d) xuoáng (P) : vieát pt mp (Q) chöùa (d), ^ (P);

(d^/) = (P) Ç (Q)

* Tìm hc song song cuûa (d) theo phöông (D) xuoáng (P) : vieát pt mp (Q) chöùa (d)

// (D); (d^/) = (P) Ç (Q).

Ñöôøng troøn :

* Ñöôøng troøn (C) xaùc ñònh bôûi taâm I(a,b) vaø bk R : (C) : (x – a)² + (y – b)² = R²

* (C) : x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0 coù taâm I(–A,–B), bk R =

* (d) tx (C) Û d(I, (d)) = R, caét Û < R, khoâng caét Û > R.

* Tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x_o,y_o) : phaân ñoâi t/ñoä trong (C) :

(x_o–a)(x–a) + (y_o–b)(y–b) = R hay x_ox + y_oy + A(x_o + x) + B(y_o + y) + C = 0

* Cho (C) : F(x,y) = x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0 thì P_M/(C) = F(x_M, y_M) = = MT² = MI² – R² vôùi MAB : caùt tuyeán, MT : tieáp tuyeán ; M Î (C) Û P_M/(C) = 0 , M trong (C) Û P_M/(C) < 0, ngoaøi Û > 0.

* Truïc ñaúng phöông cuûa (C) vaø (C^/) :2(A – A^/)x + 2(B – B^/)y + (C – C^/) = 0

* (C), (C^/) ngoaøi nhau Û II^/ > R + R^/ : (coù 4 tieáp tuyeán chung); tx ngoaøi Û = R + R^/ (3 tieáp tuyeán chung); caét Û < II^/ < R + R^/ (2 tt chung); tx trong Û = (1 tt chung laø truïc ñaúng phöông) chöùa nhau Û < (khoâng coù tt chung).

Maët caàu :

* Mc (S) xñ bôûi taâm I (a, b, c) vaø bk R : (S) : (x – a)² + (y – b²) + (z – c)² = R².

* (S) : x² + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 coù taâm I(–A,–B,–C), bk R =

* (P) tx (S) Û d(I,(P)) = R, caét Û < R, khoâng caét Û > R.

* Pt tieáp dieän vôùi (S) taïi M : phaân ñoâi tñoä (S).

* Cho (S) : F(x, y, z) = 0. P_M/(S) = F (x_M, y_M, z_M); P_M/(S) = 0 Û M Î (S), < 0

Û M trong (S), > 0 Û M ngoaøi (S).

* Maët ñaúng phöông cuûa (S) vaø (S^/) :

2(A – A^/)x + 2(B – B^/)y + 2(C – C^/)z + (D – D^/) = 0

* Töông giao giöõa (S), (S^/) : nhö (C), (C^/).

* Khi (S), (S^/) tx trong thì tieát dieän chung laø maët ñaúng phöông.

* Khi (S), (S^/) caét nhau thì mp qua giao tuyeán laø maët ñaúng phöông.

Elip : * cho F₁, F₂, F₂F₂ = 2c, cho a > c > 0

M Î (E) Û MF₁ + MF₂ = 2a.

* (E) : = 1 (a > b > 0) : tieâu ñieåm : F₁(–c,0), F₂(c,0); ñænh A₁(–a,0); A₂(a,0); B₁(0,–b); B₂(0,b); tieâu cöï : F₁F₂ = 2c, truïc lôùn A₁A₂ = 2a; truïc nhoû

B₁B₂ = 2b; taâm sai e = c/a; ñöôøng chuaån x = ± a/e; bk qua tieâu : MF₁ = a + ex_M,

MF₂ = a – ex_M; tt vôùi (E) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä (E),

(E) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û a²A² + b²B² = C² ; a² = b² + c².

* (E) : (a > b > 0) : khoâng chính taéc; tieâu ñieåm : F₁(0,–c), F₂(0,c); ñænh A₁(0,–a), A₂(0,a), B₁(–b,0), B₂(b,0), tieâu cöï : F₁F₂ = 2c; truïc lôùn A₁A₂ = 2a; truïc nhoû B₁B₂ = 2b; taâm sai e = c/a; ñöôøng chuaån y = ± a/e; baùn kính qua tieâu MF₁ = a + ey_M, MF₂ = a – ey_M; tieáp tuyeán vôùi (E) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä (E); (E) tieáp xuùc (d) : Ax + By + C = 0 Û a²B² + b² A² = C²; a² = b² + c² (Chuù yù : taát caû caùc keát quaû cuûa tröôøng hôïp naøy suy töø tröôøng hôïp chính taéc treân baèng caùch thay x bôûi y, y bôûi x).

Hypebol :

* Cho F₁, F₂, F₂F₂ = 2c, cho 0 < a < c.

M Î (H) Û = 2a

(H) : = 1 (pt chính taéc)

tieâu ñieåm F₁(–c,0), F₂(c,0); ñænh tr.thöïc A₁(–a,0), A₂(a,0); ñænh truïc aûo

B₁(0,–b), B₂(0,b); tieâu cöï F₁F₂ = 2c; ñoä daøi truïc thöïc A₁A₂ = 2a; ñoä daøi truïc aûo

B₁B₂ = 2b; taâm sai : e = c/a; ñöôøng chuaån : x = ± a/e; baùn kính qua tieâu : M nhaùnh phaûi MF₁ = ex_M + a , MF₂= ex_M – a , M Î nhaùnh traùi MF₁ = – ex_M – a,

MF₂ = –ex_M + a; tieáp tuyeán vôùi (H) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä (H);

(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û a²A² – b²B² = C² > 0; tieäm caän y = ± x

hình chöõ nhaät cô sôû : x = ± a, y = ± b; c² = a²+ b².

(H) : (pt khoâng chính taéc)

tieâu ñieåm F₁(0,–c), F₂(0,c); ñænh truïc thöïc A₁(0,–a), A₂(0,a); ñænh truïc aûo B₁(–b,0), B₂(b,0); tieâu cöï F₁F₂ = 2c; ñoä daøi truïc thöïc A₁A₂ = 2a; ñoä daøi truïc aûo B₁B₁ = 2b; taâm sai : e = c/a; ñöôøng chuaån : y = ± a/e; baùn kính qua tieâu : M Î nhaùnh treân MF₁ = ey_M + a, MF₂ = ey_M – a; M Î nhaùnh döôùi MF₁ = –ey_M – a, MF₂ = – ey_M + a; tieáp tuyeán vôùi (H) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä (H);

(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û a²B² – b²A² = C² > 0; tieäm caän x = ± y

hình chöõ nhaät cô sôû : y= ± a, x = ± b; c² = a²+ b² (chuù yù : taát caû caùc keát quaû cuûa tröôøng hôïp naøy suy töø tröôøng hôïp chính taéc baèng caùch thay x bôûi y, y bôûi x).

Parabol : * Cho F, F Ï (D)

M Î (P) Û MF = d(M,(D))

(P) : y² = 2px (p > 0) (phöông trình chính taéc).

tieâu ñieåm (p/2, 0), ñöôøng chuaån x = – p/2; baùn kính qua tieâu MF = p/2 + x_M; taâm sai e = 1, tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pB² = 2AC (p : heä soá cuûa x trong (P) ñi vôùi B : heä soá cuûa y trong (d)); tham soá tieâu : p.

(P) : y² = – 2px (p > 0) (phöông trình khoâng chính taéc).

tieâu ñieåm (–p/2, 0), ñöôøng chuaån x = p/2; baùn kính qua tieâu MF = p/2 – x_M; taâm sai e = 1, tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pB² = – 2AC.

(P) : x² = 2py (p > 0) (phöông trình khoâng chính taéc).

tieâu ñieåm (0, p/2), ñöôøng chuaån y = – p/2; baùn kính qua tieâu MF = p/2 + y_M; taâm sai e = 1, tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pA² = 2BC (p : heä soá cuûa y trong (P) ñi vôùi A : heä soá cuûa x trong (d)).

(P) : x² = – 2py (p > 0) (phöông trình khoâng chính taéc).

tieâu ñieåm (0, – p/2), ñöôøng chuaån y = p/2; baùn kính qua tieâu MF = p/2 – y_M; taâm sai e = 1, tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä;

(P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pA² = – 2BC .

CHUÙ YÙ :

* Caàn coù quan ñieåm giaûi tích khi laøm toaùn hình giaûi tích : ñaët caâu hoûi caàn tìm gì? (ñieåm trong mp M(x_o,y_o) : 2 aån ; ñieåm trong khoâng gian (3 aån); ñöôøng thaúng trong mp Ax + By + C = 0 : 3 aån A, B, C – thöïc ra laø 2 aån; ñöôøng troøn : 3 aån a, b, R hay A, B, C; (E) : 2 aån a, b vaø caàn bieát daïng ; (H) : nhö (E); (P) : 1 aån p vaø caàn bieát daïng; mp (P) : 4 aån A, B, C, D; maët caàu (S) : 4 aån a, b, c, R hay A, B, C, D; ñöôøng thaúng trong khoâng gian (d) = (P) Ç (Q); ñöôøng troøn trong khoâng gian (C) = (P) Ç (S).

* Vôùi caùc baøi toaùn hình khoâng gian : caàn laäp heä truïc toïa ñoä.