Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

0
77
Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vào hòm thư: hotroontap@gmail.com

Tổng hợp các đề cương đại học hiện có của Đại Học Hàng HảiĐề Cương VIMARU 

Kéo xuống để Tải ngay đề cương bản PDF đầy đủ: Sau “mục lục” và “bản xem trước”

(Nếu là đề cương nhiều công thức nên mọi người nên tải về để xem tránh mất công thức)

Đề cương liên quan: Lời giải chi tiết đề thi đại học môn Hóa khối A 2007


Mục Lục

Tải ngay đề cương bản PDF tại đây: Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

Tổng hợp kiến thức on thi đại học mon toan

I- GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP

  1. Giai thöøa : n! = 1.2…n

0! = 1

n! /(n –  k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) … n

  1. Nguyeân taéc coäng : Tröôøng hôïp 1 coù m caùch choïn, tröôøng hôïp 2 coù n caùch choïn; moãi caùch choïn ñeàu thuoäc ñuùng moät tröôøng hôïp. Khi ñoù, toång soá caùch choïn laø : m + n.
  2. Nguyeân taéc nhaân : Hieän töôïng 1 coù m caùch choïn, moãi caùch choïn naøy laïi coù n caùch choïn hieän töôïng 2. Khi ñoù, toång soá caùch choïn lieân tieáp hai hieän töôïng laø : m x n.
  3. Hoaùn vò : Coù n vaät khaùc nhau, xeáp vaøo n choã khaùc nhau. Soá caùch xeáp : Pn = n !.
  4. Toå hôïp : Coù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät. Soá caùch choïn :
  5. Chænh hôïp : Coù n vaät khaùc nhau. Choïn ra k vaät, xeáp vaøo k choã khaùc nhau soá caùch :

Chænh hôïp = toå hôïp roài hoaùn vò

  1. Tam giaùc Pascal :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Tính chaát :

  1. Nhò thöùc Newton :

         *

a = b = 1 : …

Vôùi a, b Î {±1, ±2, …}, ta chöùng minh ñöôïc nhieàu ñaúng thöùc chöùa :

*

Ta chöùng minh ñöôïc nhieàu ñaúng thöùc chöùa  baèng caùch :

– Ñaïo haøm 1 laàn, 2 laàn, cho x = ±1, ±2, … a = ±1, ±2, …

– Nhaân vôùi xk , ñaïo haøm 1 laàn, 2 laàn, cho x =  ±1, ±2, … , a =  ±1, ±2, …

– Cho a =  ±1, ±2, …,  hay

Chuù yù :

*    (a + b)n : a, b chöùa x. Tìm soá haïng ñoäc laäp vôùi x :

Giaûi pt : m = 0, ta ñöôïc k.

*    (a + b)n : a, b chöùa caên . Tìm soá haïng höõu tyû.

Giaûi heä pt : , tìm ñöôïc k

*    Giaûi pt , bpt chöùa : ñaët ñieàu kieän k, n Î N* …, k £ n. Caàn bieát ñôn giaûn caùc giai thöøa, qui ñoàng maãu soá, ñaët thöøa soá chung.

*    Caàn phaân bieät : qui taéc coäng vaø qui taéc nhaân; hoaùn vò (xeáp, khoâng boác), toå hôïp (boác, khoâng xeáp), chænh hôïp (boác roài xeáp).

*    AÙp duïng sô ñoà nhaùnh ñeå chia tröôøng hôïp , traùnh truøng laép hoaëc thieáu tröôøng hôïp.

*    Vôùi baøi toaùn tìm soá caùch choïn thoûa tính chaát p maø khi chia tröôøng hôïp, ta thaáy soá caùch choïn khoâng thoûa tính chaát p ít tröôøng hôïp hôn, ta laøm nhö sau :

soá caùch choïn thoûa p.

= soá caùch choïn tuøy yù – soá caùch choïn khoâng thoûa p.

Caàn vieát meänh ñeà phuû ñònh p thaät chính xaùc.

*    Veù soá, soá bieân lai, baûng soá xe … : chöõ soá 0 coù theå ñöùng ñaàu (tính töø traùi sang phaûi).

*    Daáu hieäu chia heát :

– Cho 2 : taän cuøng laø 0, 2, 4, 6, 8.

– Cho 4 : taän cuøng laø 00 hay 2 chöõ soá cuoái hôïp thaønh soá chia heát cho 4.

– Cho 8 : taän cuøng laø 000 hay 3 chöõ soá cuoái hôïp thaønh soá chia heát cho 8.

– Cho 3 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 3.

– Cho 9 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 9.

– Cho 5 : taän cuøng laø 0 hay 5.

– Cho 6 : chia heát cho 2 vaø 3.

– Cho 25 : taän cuøng laø 00, 25, 50, 75.

II- ĐẠI SỐ

  1. Chuyeån veá : a + b = c Û a = c – b; ab = c Û

a/b = c Û ;

2.         Giao nghieäm :

        

Nhieàu daáu v : veõ truïc ñeå giao nghieäm.

3.         Coâng thöùc caàn nhôù :

a.: chæ ñöôïc bình phöông neáu 2 veá khoâng aâm. Laøm maát  phaûi ñaët ñieàu kieän.

  1. : phaù  baèng caùch bình phöông :  hay baèng ñònh nghóa :
  1. Muõ :
  1. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ¹ 1, y Î R

y­ neáu a > 1, y¯ neáu 0 < a < 1, a = logaaa

loga(MN) = logaM + logaN ()

loga(M/N) = logaM – logaN ()

(Þ)

logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc

logbc = logac/logab,

loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN Û M = N

Khi laøm toaùn log, neáu mieàn xaùc ñònh nôùi roäng : duøng ñieàu kieän chaën laïi, traùnh duøng coâng thöùc laøm thu heïp mieàn xaùc ñònh. Maát log phaûi coù ñieàu kieän.

4.         Ñoåi bieán :

  1. Ñôn giaûn :

Neáu trong ñeà baøi coù ñieàu kieän cuûa x, ta chuyeån sang ñieàu kieän cuûa t baèng caùch bieán ñoåi tröïc tieáp baát ñaúng thöùc.

  1. Haøm soá : t = f(x) duøng BBT ñeå tìm ñieàu kieän cuûa t. Neáu x coù theâm ñieàu kieän, cho vaøo mieàn xaùc ñònh cuûa f.
  2. Löôïng giaùc : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Duøng pheùp chieáu löôïng giaùc ñeå tìm ñieàu kieän cuûa t.
  3. Haøm soá hôïp : töøng böôùc laøm theo caùc caùch treân.

5.         Xeùt daáu :

  1. Ña thöùc hay phaân thöùc höõu tyû, daáu A/B gioáng daáu A.B; beân phaûi cuøng daáu heä soá baäc cao nhaát; qua nghieäm ñôn (boäi leû) : ñoåi daáu; qua nghieäm keùp (boäi chaün) : khoâng ñoåi daáu.
  2. Bieåu thöùc f(x) voâ tyû : giaûi f(x) < 0 hay f(x) > 0.
  3. Bieåu thöùc f(x) voâ tyû maø caùch b khoâng laøm ñöôïc : xeùt tính lieân tuïc vaø ñôn ñieäu cuûa f, nhaåm 1 nghieäm cuûa pt f(x) = 0, phaùc hoïa ñoà thò cuûa f , suy ra daáu cuûa f.

6.         So saùnh nghieäm phöông trình baäc 2 vôùi a :

                                f(x) = ax2 + bx + c = 0         (a  0)

* S = x1 + x2 = – b/a   ;               P = x1x2 = c/a

Duøng S, P ñeå tính caùc bieåu thöùc ñoái xöùng nghieäm. Vôùi ñaúng thöùc g(x1,x2) = 0 khoâng ñoái xöùng, giaûi heä pt :

Bieát S, P thoûa S2 – 4P ³ 0, tìm x1, x2 töø pt : X2 – SX + P = 0

*    Duøng D, S, P ñeå so saùnh nghieäm vôùi 0 :

x1 < 0 < x2 Û P < 0,  0 < x1 < x2 Û

x1 < x2 < 0 Û

*    Duøng D, af(a), S/2 ñeå so saùnh nghieäm vôùi a : x1 < a < x2 Û af(a) < 0

a < x1 < x2 Û   ;   x1 < x2 < a Û

a < x1 < b < x2 Û  ;  x1 < a < x2  < b Û

7.         Phöông trình baäc 3 :

  1. Vieâte : ax3 + bx2 + cx + d = 0

x1 + x2 + x3 = – b/a  ,   x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a  ,  x1.x2.x3 = – d/a

Bieát x1 + x2 + x3 = A  ,  x1x2 + x1x3 + x2x3 = B  ,  x1.x2.x3 = C

thì x1, x2, x3 laø 3 nghieäm phöông trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0

  1. Soá nghieäm phöông trình baäc 3 :
  • x = a Ú f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) :

3 nghieäm phaân bieät Û

2 nghieäm phaân bieät Û

1 nghieäm                              Û

  • Phöông trình baäc 3 khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng söï töông giao giöõa (C) : y = f(x) vaø (d) : y = m.
  • Phöông trình baäc 3 khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m khoâng taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng söï töông giao giöõa (Cm) : y = f(x, m) vaø (Ox) : y = 0

3 nghieäm Û

2 nghieäm Û

1 nghieäm Û Dy’ £ 0 Ú

  1. Phöông trình baäc 3 coù 3 nghieäm laäp thaønh CSC :

Û

  1. So saùnh nghieäm vôùi a :
  • x = xo Ú f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) : so saùnh nghieäm phöông trình baäc 2 f(x) vôùi a.
  • Khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng söï töông giao cuûa f(x) = y: (C) vaø y = m: (d) , ñöa a vaøo BBT.
  • Khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m khoâng taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng söï töông giao cuûa (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (coù m) ,(a > 0) vaø (Ox)

a < x1 < x2 < x3 Û

x1 < a < x2 < x3 Û

x1 < x2 < a < x3 Û

x1 < x2 < x3 < a Û

8.         Phöông trình baäc 2 coù ñieàu kieän :

                f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0), x ¹ a

2 nghieäm Û   ,  1 nghieäm Û

Voâ nghieäm Û D < 0  Ú

Neáu a coù tham soá, xeùt theâm a = 0 vôùi caùc tröôøng hôïp 1 nghieäm, VN.

9.         Phöông trình baäc 4 :

  1. Truøng phöông : ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0) Û

t = x2 Û x = ±

4 nghieäm Û    ; 3 nghieäm Û

2 nghieäm Û   ;             1 nghieäm Û

VN Û D < 0  Ú  Û D < 0  Ú

4 nghieäm CSC Û

Giaûi heä pt :

  1. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Ñaët t = x + . Tìm ñk cuûa t baèng BBT :
  2. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Ñaët t = x – . Tìm ñk cuûa t baèng BBT : t Î R.
  3. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e vôùi a + b = c + d. Ñaët : t = x2 + (a + b)x. Tìm ñk cuûa t baèng BBT.
  4. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Ñaët : , t Î R.
  1. Heä phöông trình baäc 1 : . Tính :

D =   ,  Dx =   ,  Dy =

D ¹ 0 : nghieäm duy nhaát x = Dx/D , y = Dy/D.

D = 0, Dx ¹ 0  Ú Dy ¹ 0 : VN

D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giaûi heä vôùi m ñaõ bieát).

  1. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi 1 :

         Töøng phöông trình ñoái xöùng theo x, y. Ñaït S = x + y, P = xy.

ÑK : S2 – 4P ³ 0. Tìm S, P. Kieåm tra ñk S2 – 4P ³ 0;

Theá S, P vaøo pt : X2 – SX + P = 0, giaûi ra 2 nghieäm laø x vaø y.

(a, b) laø nghieäm thì (b, a) cuõng laø nghieäm; nghieäm duy nhaát

Þ a = b Þ m = ?

Thay m vaøo heä, giaûi xem coù duy nhaát nghieäm khoâng.

  1. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi 2 :

         Phöông trình naøy ñoái xöùng vôùi phöông trình kia. Tröø 2 phöông trình, duøng caùc haèng ñaúng thöùc ñöa veà phöông trình tích A.B = 0.

Nghieäm duy nhaát laøm nhö heä ñoái xöùng loaïi 1.

  1. Heä phöông trình ñaúng caáp :

Xeùt y = 0. Xeùt y ¹ 0 : ñaët x = ty, chia 2 phöông trình ñeå khöû t. Coøn 1 phöông trình theo y, giaûi ra y, suy ra t, suy ra x. Coù theå xeùt x = 0, xeùt x ¹ 0, ñaët y = tx.

  1. Baát phöông trình, baát ñaúng thöùc :

         *    Ngoaøi caùc baát phöông trình baäc 1, baäc 2, daïng cô baûn cuûa , log, muõ coù theå giaûi tröïc tieáp, caùc daïng khaùc caàn laäp baûng xeùt daáu. Vôùi baát phöông trình daïng tích AB < 0, xeùt daáu A, B roài AB.

*    Nhaân baát phöông trình vôùi soá döông : khoâng ñoåi chieàu

soá aâm          : coù ñoåi chieàu

Chia baát phöông trình : töông töï.

*    Chæ ñöôïc nhaân 2 baát pt veá theo veá , neáu 2 veá khoâng aâm.

*    Baát ñaúng thöùc Coâsi :

a, b ³ 0 :

Daáu = xaûy ra chæ khi a = b.

a, b, c ³ 0 :

Daáu = xaûy ra chæ khi a = b = c.

*    Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki : a, b, c, d

(ac + bd)2 £ (a2 + b2).(c2 + d2); Daáu = xaûy ra chæ khi a/b = c/d

  1. Baøi toaùn tìm m ñeå phöông trình coù k nghieäm :

         Neáu taùch ñöôïc m, duøng söï töông giao cuûa (C) : y = f(x) vaø (d) : y = m. Soá nghieäm baèng soá ñieåm chung.

Neáu coù ñieàu kieän cuûa x Î I, laäp BBT cuûa f vôùi x Î I.

  1. Baøi toaùn tìm m ñeå baát pt voâ nghieäm, luoân luoân nghieäm, coù nghieäm x Î I :

         Neáu taùch ñöôïc m, duøng ñoà thò, laäp BBT vôùi x Î I.

f(x) £ m : (C) döôùi (d)       (hay caét)

f(x) ³ m : (C) treân (d)        (hay caét)

III- LƯỢNG GIÁC

 

  1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc :

         Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc, goùc a ñoàng nhaát vôùi cung AM, ñoàng nhaát vôùi ñieåm M. Ngöôïc laïi, 1 ñieåm treân ñöôøng troøn löôïng giaùc öùng vôùi voâ soá caùc soá thöïc x + k2p.

Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc, naém vöõng caùc goùc ñaëc bieät : boäi cuûa  ( cung phaàn tö) vaø  ( cung phaàn tö)

x = a +  : a laø 1 goùc ñaïi dieän, n : soá ñieåm caùch ñeàu treân ñöôøng troøn löôïng giaùc.

  1. Haøm soá löôïng giaùc :

 

 

  1. Cung lieân keát :

         *    Ñoåi daáu, khoâng ñoåi haøm : ñoái, buø, hieäu p (öu tieân khoâng ñoåi daáu : sin buø, cos ñoái, tg cotg hieäu p).

*    Ñoåi haøm, khoâng ñoåi daáu : phuï

*    Ñoåi daáu, ñoåi haøm : hieäu  (sin lôùn = cos nhoû : khoâng ñoåi daáu).

  1. Coâng thöùc :
  2. Cô baûn : ñoåi haøm, khoâng ñoåi goùc.
  3. Coäng : ñoåi goùc a ± b, ra a, b.
  4. Nhaân ñoâi : ñoåi goùc 2a ra a.
  5. Nhaân ba : ñoåi goùc 3a ra a.
  6. Haï baäc : ñoåi baäc 2 ra baäc 1. Coâng thöùc ñoåi baäc 3 ra baäc 1 suy töø coâng thöùc nhaân ba.
  7. Ñöa veà  : ñöa löôïng giaùc veà ñaïi soá.
  8. Toång thaønh tích : ñoåi toång thaønh tích vaø ñoåi goùc a, b thaønh (a ± b) / 2.
  9. Tích thaønh toång : ñoåi tích thaønh toång vaø ñoåi goùc a, b thaønh a ± b.
  1. Phöông trình cô baûn : sina = 0Û cosa = – 1 hay cosa = 1Û a = kp,

sina = 1 Û a = + k2p; sina =  –1 Û a = – + k2p,

cosa = 0 Û sina = –1 hay sina = 1  Û a = + kp,

cosa = 1 Û a = k2p,   cosa = – 1 Û a = p + k2p

sinu = sinv Û  u = v + k2p Ú u = p – v + k2p

cosu = cosv Û u = ± v + k2p

tgu = tgv Û u = v + kp

cotgu = cotgv Û u = v + kp

  1. Phöông trình baäc 1 theo sin vaø cos : asinu + bcosu = c

*    Ñieàu kieän coù nghieäm : a2 + b2 ³ c2

*    Chia 2 veá cho , duøng coâng thöùc coäng ñöa veà phöông trình cô baûn.

(caùch khaùc : ñöa veà phöông trình baäc 2 theo )

  1. Phöông trình ñoái xöùng theo sin, cos :

         Ñöa caùc nhoùm ñoái xöùng veà sin + cos vaø sin.cos.

Ñaët : t = sinu + cosu =

  1. Phöông trình chöùa ½sinu + cosu½ vaø sinu.cosu :

         Ñaët :

  1. Phöông trình chöùa sinu – cosu vaø sinu.cosu :

         Ñaët :

  1. Phöông trình chöùa ½sinu – cosu½ vaø sinu.cosu :

         Ñaët :

  1. Phöông trình toaøn phöông (baäc 2 vaø baäc 0 theo sinu vaø cosu) :

         Xeùt cosu = 0; xeùt cosu ¹ 0, chia 2 veá cho cos2u, duøng coâng thöùc

1/cos2u = 1 + tg2u, ñöa veà phöông trình baäc 2 theo t = tgu.

  1. Phöông trình toaøn phöông môû roäng :

         *    Baäc 3 vaø baäc 1 theo sinu vaø cosu : chia 2 veá cho cos3u.

*    Baäc 1 vaø baäc – 1 : chia 2 veá cho cosu.

  1. Giaûi phöông trình baèng caùch ñoåi bieán :

         Neáu khoâng ñöa ñöôïc phöông trình veà daïng tích, thöû ñaët :

*    t = cosx        : neáu phöông trình khoâng ñoåi khi thay x bôûi – x.

*    t = sinx         : neáu phöông trình khoâng ñoåi khi thay x bôûi p – x.

*    t = tgx          : neáu phöông trình khoâng ñoåi khi thay x bôûi p + x.

*    t = cos2x : neáu caû 3 caùch treân ñeàu ñuùng

*    t = tg : neáu caû 3 caùch treân ñeàu khoâng ñuùng.

  1. Phöông trình ñaëc bieät :

         *   

*

*

*    sinu.cosv = 1 Û

*    sinu.cosv = – 1 Û

Töông töï cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.

  1. Heä phöông trình : Vôùi F(x) laø sin, cos, tg, cotg
  2. Daïng 1 : . Duøng coâng thöùc ñoåi + thaønh nhaân,

theá (2) vaøo (1) ñöa veà heä phöông trình :

  1. Daïng 2 : . Töông töï daïng 1, duøng coâng thöùc ñoåi nhaân thaønh +.
  2. Daïng 3 : .

Duøng tæ leä thöùc :  bieán ñoåi phöông trình (1) roài duøng

coâng thöùc ñoåi + thaønh x.

  1. Daïng khaùc : tìm caùch phoái hôïp 2 phöông trình, ñöa veà caùc pt cô baûn.
  2. Toaùn D :

         *    Luoân coù saün 1 pt theo A, B, C : A + B + C = p

*    A + B buø vôùi C, (A + B)/2 phuï vôùi C/2.

*    A, B, C Î (0, p) ; A/2, B/2, C/2 Î (0, p/2)

A + B Î (0, p) ; (A + B)/2 Î (0, p/2) ;

A – B Î (– p, p) , (A – B)/2 Î (– p/2, p/2)

Duøng caùc tính chaát naøy ñeå choïn k.

*    Ñoåi caïnh ra goùc (ñoâi khi ñoåi goùc ra caïnh) : duøng ñònh lyù haøm sin :

a = 2RsinA hay ñònh lyù haøm cos :  a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

*

*    Trung tuyeán :

*    Phaân giaùc : ℓa =

IV- TÍCH PHÂN

  1. Ñònh nghóa, coâng thöùc, tính chaát :

*    F laø 1 nguyeân haøm cuûa f Û f laø ñaïo haøm cuûa F.

Hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa f :

= F(x) + C    (C Î R)

*    ,  a ¹ – 1

;

;

*

*

  1. Tích phaân töøng phaàn :

Thöôøng duøng khi tính tích phaân caùc haøm hoãn hôïp.

töøng phaàn 2 laàn, giaûi phöông trình aån haøm ʃ

  1. Caùc daïng thöôøng gaëp :
  2. :               u = sinx.

:               u = cosx.

:               haï baäc veà baäc 1

  1. :               u = tgx   (n ³ 0)

:               u = cotgx               (n ³ 0)

  1. chöùa a2 – u2 :               u = asint

chöùa u2 – a2                         :               u = a/cost

chöùa a2 + u2                          :               u = atgt

  1. , R : haøm höõu tyû

R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx)           : u = cosx

R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx)           : u = sinx

R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx)             : u = tgx Ú u = cotgx

R ñôn giaûn :

  1. , R laø haøm höõu tyû :
  2. chöùa (a + bxk)m/n : thöû ñaët un = a + bxk.
  1. Tích phaân haøm soá höõu tyû :

                                       : baäc P < baäc Q

*       Ñöa Q veà daïng tích cuûa x + a, (x + a)n,  ax2 + bx + c  (D < 0)

*       Ñöa P/Q veà daïng toång caùc phaân thöùc ñôn giaûn, döïa vaøo caùc thöøa soá cuûa Q :

  1. Tính dieän tích hình phaúng :
  2. D giôùi haïn bôûi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :

f(x) : phaân thöùc höõu tæ : laäp BXD f(x) treân [a,b] ñeå môû ½.½; f(x) : haøm löôïng giaùc : xeùt daáu f(x) treân cung [a, b] cuûa ñöôøng troøn löôïng giaùc.

  1. D giôùi haïn bôûi x = a, x = b , (C) : y = f(x)

(C’) : y = g(x) :

Xeùt daáu f(x) – g(x) nhö tröôøng hôïp a/.

  1. D giôùi haïn bôûi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0

/

/

Vôùi tröôøng hôïp a) : neáu bieân treân hay bieân döôùi bò gaõy, ta caét D baèng caùc ñöôøng thaúng ñöùng ngay choã gaõy.

Vôùi tröôøng hôïp b) : neáu bieân phaûi hay bieân traùi bò gaõy, ta caét D baèng caùc ñöôøng ngang ngay choã gaõy.

Choïn tính  theo dx hay dy ñeå ò deã tính toaùn hay D ít bò chia caét.

Caàn giaûi caùc heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm.

Caàn bieát veõ ñoà thò caùc hình thöôøng gaëp : caùc haøm cô baûn, caùc ñöôøng troøn, (E) , (H), (P), haøm löôïng giaùc, haøm muõ, haøm .

Caàn bieát ruùt y theo x hay x theo y töø coâng thöùc f(x,y) = 0 vaø bieát choïn  hay

  1. Tính theå tích vaät theå troøn xoay :
  2. D nhö 5.a/ xoay quanh  (Ox) :

Chuù yù : xoay quanh (Ox) : ò …dx ; xoay quanh (Oy) : ò … dy.

V- KHẢO SÁT HÀM SỐ

  1. Tìm lim daïng , daïng 1 ¥ :
  2. Phaân thöùc höõu tyû :
  3. Haøm lg :
  4. Haøm chöùa caên : , duøng löôïng lieân hieäp :

a2 – b2 = (a – b)(a + b)  ñeå phaù , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ñeå phaù

  1. Haøm chöùa muõ hay log (daïng 1¥) : duøng coâng thöùc
  2. Ñaïo haøm :
  3. Tìm ñaïo haøm baèng ñònh nghóa :

Taïi ñieåm xo maø f ñoåi coâng thöùc, phaûi tìm ñaïo haøm töøng phía :

Neáu  thì f coù ñaïo haøm taïi xo.

  1. YÙ nghóa hình hoïc :

k = tga = f/(xM)

  1. f/ + :  f ­            ,         f/ – : f ¯

f// + : f loõm         ,         f// – : f loài

  1. f ñaït CÑ taïi M Û

f ñaït CT taïi M Û

M laø ñieåm uoán cuûa f Û f//(xM) = 0 vaø f// ñoåi daáu khi qua xM.

  1. Tính ñaïo haøm baèng coâng thöùc : C/ = 0, (xa)/ = axa–1 , (lnx)/ = 1/x , , (ex)/ = ex

(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,

(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,

(u/v)/ = (u/v – uv/)/v2

*    Haøm hôïp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x)

*    Ñaïo haøm loâgarit : laáy log (ln : cô soá e) 2 veá , roài ñaïo haøm 2 veá; aùp duïng vôùi haøm [f(x)]g(x) hay f(x) daïng tích, thöông, chöùa …

  1. Vi phaân : du = u/dx
  2. Tieäm caän :

        

x a
y

Þ x = a : tcñ

x
y b          b

Þ y = b : tcn

x
y

Þ y = ax + b : tcx

*       Veõ ñoà thò coù tieäm caän :

– t c ñ : khi y caøng tieán veà ± ¥ thì ñöôøng cong caøng gaàn ñöôøng t c .

– t c x :khi x vaø y caøng tieán veà ± ¥ thì ñöôøng cong caøng gaàn ñöôøng t c.

– t c n :khi x  caøng tieán veà ± ¥ thì ñöôøng cong caøng gaàn ñöôøng t c.

*       Xeùt

  • Coù tcñ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ¹ 0
  • Coù tcn khi baäc P £ baäc Q : vôùi x ® ¥, tìm lim y baèng caùch laáy soá haïng baäc cao nhaát cuûa P chia soá haïng baäc cao nhaát cuûa Q.
  • Coù tcx khi P hôn Q 1 baäc, khi ñoù chia ña thöùc ta coù : , tcx laø y = ax + b. Neáu Q = x – a, coù theå chia Honer.

*       Bieän luaän tieäm caän haøm baäc 2 / baäc 1  :

( d ¹ 0 )

  • a ¹ 0, c ¹ 0 : coù tcñ, tcx
  • a = 0, c ¹ 0 : coù tcn, tcñ.
  • c = 0 : (H) suy bieán thaønh ñt, khoâng coù tc.
  1. Ñoà thò caùc haøm thöôøng gaëp :

         a/ y = ax + b :

b/ y = ax2 + bx + c

c/ y = ax3 + bx2 + c + d

a> 0 :

a < 0 :

d/ y = ax4 + bx2 + c

a > 0

a < 0

e/ y = (ax + b) / (cx + d)  (c ¹ 0)

ad – bc > 0                                       ad – bc < 0

f/ y =   (ad ¹ 0)

ad > 0

ad < 0

 

 

 

 

 

  1. ÑOÁI XÖÙNG ÑOÀ THÒ :

                g(x) = f(–x) : ñx qua (Oy)

g(x) = – f(x) : ñx qua (Ox)

(C/) : y =  : giöõ nguyeân phaàn (C) beân treân y = 0, laáy phaàn (C) beân döôùi y = 0 ñoái xöùng qua (Ox).

(C/) : y =  : giöõ nguyeân phaàn (C) beân phaûi x = 0, laáy phaàn (C) beân phaûi x = 0 ñoái xöùng qua (Oy).

  1. ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT CUÛA (Cm) : y = f(x, m)

         a/ Ñieåm coá ñònh : M(xo, yo) Î (Cm), “m Û yo = f(xo, m), “m Û Am + B = 0, “m (hay Am2 + Bm + C = 0, “m) Û  (hay ). Giaûi heä, ñöôïc M.

b/ Ñieåm (Cm) khoâng ñi qua, “m : M(xo, yo) Ï (Cm), “m Û yo ¹ f(xo,m), “m Û yo = f(xo, m) VN m Û Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) Û  (hay ). Giaûi heä , ñöôïc M.

Chuù yù :  VN Û B = 0 Ú

c/ Ñieåm coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua : Coù n ñöôøng (Cm) qua M(xo, yo) Û yo = f(xo, m) coù n nghieäm m. Caàn naém vöõng ñieàu kieän coù n nghieäm cuûa caùc loaïi phöông trình : baäc 2, baäc 2 coù ñieàu kieän x ¹ a, baäc 3, truøng phöông.

  1. TIEÁP XUÙC, PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN :
  2. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi heä phöông trình sau coù nghieäm : . Nghieäm x cuûa heä laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm.
  3. Tìm tieáp tuyeán vôùi (C) : y = f(x)

*    Taïi M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo.

*    Qua M (xo, yo): vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Duøng ñieàu kieän tx tìm k. Soá löôïng k = soá löôïng tieáp tuyeán (neáu f baäc 3 hay baäc 2 / baäc 1 thì soá nghieäm x trong heä phöông trình ñk tx = soá löôïng tieáp tuyeán).

* // (D) : y = ax + b : (d) // (D) Þ (d) : y = ax + m. Tìm m nhôø ñk tx.

* ^ (D) : y = ax + b (a ¹ 0) : (d) ^ (D) Þ (d) : y = x + m. Tìm m nhôø ñk tx.

  1. Baøi toaùn soá löôïng tieáp tuyeán : tìm M Î (C/) : g(x, y) = 0 sao cho töø M keû ñöôïc ñeán (C) ñuùng n tieáp tuyeán (n = 0, 1, 2, …), M(xo,yo) Î (C/) Û g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : (1). Theá k vaøo (1) ñöôïc phöông trình aån x, tham soá xo hay yo. Ñaët ñk ñeå phöông trình naøy coù n nghieäm x (soá nghieäm x = soá tieáp tuyeán), tìm ñöôïc xo hay yo.
  2. TÖÔNG GIAO :

         *    Phöông trình hñ ñieåm chung cuûa (C) : y = f(x) vaø (C/) : y = g(x) laø : f(x) = g(x). Soá  nghieäm pt = soá ñieåm chung.

*    Tìm m ñeå (Cm) : y = f(x, m) vaø (C/m) : y = g(x, m) coù n giao ñieåm : Vieát phöông trình hoaønh ñoä ñieåm chung; ñaët ñk ñeå pt coù n nghieäm. Neáu pt hoaønh ñoä ñieåm chung taùch ñöôïc m sang 1 veá : F(x) = m : ñaët ñieàu kieän ñeå (C) : y = F(x) vaø (d) : y = m coù n ñieåm chung.

*    Bieän luaän söï töông giao cuûa (Cm) vaø (C/m) :

  • Neáu pt hñ ñieåm chung daïng : F(x) = m : laäp BBT cuûa F; soá ñieåm chung cuûa (Cm) vaø (C/m) = soá ñieåm chung cuûa (C) vaø (d).
  • PThñ ñieåm chung, khoâng taùch ñöôïc m, daïng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ¹ a) hay daïng baäc 3 : x = a Ú f(x) = 0 : laäp D, xeùt daáu D, giaûi pt f(x) = 0 ñeå bieát m naøo thì a laø nghieäm cuûa f, vôùi m ñoù, soá nghieäm bò bôùt ñi 1.
  1. CÖÏC TRÒ :

         *    f coù ñuùng n cöïc trò Û f/ ñoåi daáu n laàn.

*    f ñaït cöïc ñaïi taïi xo Û

f ñaït cöïc tieåu taïi xo Û

*    f baäc 3 (hay baäc 2 / baäc 1) coù cöïc trò Û f coù CÑ vaø CT Û  > 0

*    f baäc 3 (hay baäc 2 / baäc 1) coù cöïc trò :

  • Beân phaûi (d) : x = a Û y/ = 0 coù 2 nghieäm a < x1 < x2.
  • Beân traùi (d) : x = a Û y/ = 0 coù 2 nghieäm x1 < x2 < a .
  • 1 beân (Ox) Û
  • 2 beân (Ox) Û

*    Vôùi haøm baäc 2 / baäc 1, caùc ñieàu kieän y.yCT < 0 (>0) coù theå thay bôûi y = 0 VN (coù 2 nghieäm.).

*    Tính y.yCT :

  • Haøm baäc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D)

y.yCT = (Cx + D).(CxCT + D), duøng Vieøte vôùi pt y/ = 0.

  • Haøm baäc 2/ baäc 1 :

y.yCT = , duøng Vieøte vôùi pt y/ = 0.

*    Ñöôøng thaúng qua CÑ, CT :

  • Haøm baäc 3 : y = Cx + D
  • Haøm baäc 2 / baäc 1 : y = u/ / v/

*    y = ax4 + bx2 + c coù 1 cöïc trò Û ab ³ 0, 3 cöïc trò Û ab < 0

  1. ÑÔN ÑIEÄU :
  2. Bieän luaän söï bieán thieân cuûa haøm baäc 3 :
  3. i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)
  4. ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm)

iii)    a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2

Þ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2.

Ngoaøi ra ta coøn coù :

+    x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán.

+    haøm soá taêng treân (-¥, x1)

+    haøm soá taêng treân (x2, +¥)

+    haøm soá giaûm treân (x1, x2)

  1. iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2

Þ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù :

+    haøm soá giaûm treân (-¥, x1)

+    haøm soá giaûm treân (x2, +¥)

+    haøm soá taêng treân (x1, x2)

  1. Bieän luaän söï bieán thieân cuûa y =
  2. i) Neáu a.m > 0 vaø y/ = 0 voâ nghieäm thì haøm taêng ( ñoàng bieán) treân töøng khoûang xaùc ñònh.
  3. ii) Neáu a.m < 0 vaø y/ = 0 voâ nghieäm thì haøm giaûm ( nghòch bieán) treân töøng khoûang xaùc ñònh.

iii) Neáu a.m > 0 vaø y/ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thì haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2 thoûa x1 < x2  vaø .

  1. iv) Neáu a.m < 0 vaø y/ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thì haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa x1 < x2  vaø .
  2. Tìm m ñeå haøm soá baäc 3, baäc 2/baäc 1 ñoàng bieán (nghòch bieán) treân mieàn x Î I : ñaët ñk ñeå I naèm trong mieàn ñoàng bieán (nghòch bieán) cuûa caùc BBT treân; so saùnh nghieäm pt baäc 2 y/ = 0 vôùi a.
  3. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM PT BAÈNG ÑOÀ THÒ :
  4. Cho pt : F(x, m) = 0; taùch m sang 1 veá : f(x) = m; laäp BBT cuûa f (neáu f ñaõ khaûo saùt thì duøng ñoà thò cuûa f), soá nghieäm = soá ñieåm chung.
  5. Vôùi pt muõ, log, , löôïng giaùc : ñoåi bieán; caàn bieát moãi bieán môùi t ñöôïc maáy bieán cuõ x; caàn bieát ñk cuûa t ñeå caét bôùt ñoà thò f.
  6. QUYÕ TÍCH ÑIEÅM DI ÑOÄNG M(xo, yo) :

         Döïa vaøo tính chaát ñieåm M, tìm 2 ñaúng thöùc chöùa xo, yo, m; khöû m, ñöôïc F(xo, yo) = 0; suy ra M Î (C) : F(x, y) = 0; giôùi haïn quyõ tích : M toàn taïi Û m ? xo ? (hay yo ?)

  • Neáu xo = a thì M Î (d) : x = a.
  • Neáu yo = b thì M Î (d) : y = b.
  1. TAÂM, TRUÏC, CAËP ÑIEÅM ÑOÁI XÖÙNG :
  2. CM haøm baäc 3 coù taâm ñx (ñieåm uoán), haøm baäc 2/baäc 1 coù taâm ñx (gñ 2 tc)

taïi I : ñoåi toïa ñoä : x = X + xI, y = Y + yI; theá vaøo haøm soá : Y = F(X), cm :

F(–x) = – F(x), suy ra F laø haøm leû, ñoà thò coù tñx laø goác toïa ñoä I.

  1. CM haøm baäc 4 coù truïc ñx // (Oy) : giaûi pt y/ = 0; neáu x = a laø nghieäm duy nhaát hay laø nghieäm chính giöõa cuûa 3 nghieäm : ñoåi toïa ñoä x = X + a, y = Y; theá vaøo haøm soá : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F laø haøm chaün, ñoà thò coù truïc ñoái xöùng laø truïc tung X = 0, töùc x = a.
  2. Tìm treân (C) : y = f(x) caëp ñieåm M, N ñoái xöùng qua I : giaûi heä 4 pt 4 aån :
  1. Tìm treân (C) : y = f(x) caëp ñieåm ñ/x qua ñt (d) : y = ax + b : dt ^ (d) laø

(d’) : y = – x + m; laäp pt hñ ñieåm chung cuûa (C) vaø (d’); giaû söû pt coù 2 nghieäm xA, xB, tính toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB theo m; A, B ñoái xöùng qua (d) Û I Î (d)

Û m?; thay m vaøo pthñ ñieåm chung, giaûi tìm xA, xB, suy ra yA, yB.

  1. Tìm ñieåm M Î (C) : y = ax + b + coù toïa ñoä nguyeân (a, b, c, d, e Î Z) : giaûi heä  Û

Û

  1. Tìm min, max cuûa haøm soá y = f(x)

Laäp BBT, suy ra mieàn giaù trò vaø min, max.

  1. Giaûi baát phöông trình baèng ñoà thò :

         f < g Û a < x < b, f > g Û

f £ g Û a £ x £ b , f ³ g Û

VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

  1. Toïa ñoä , vectô :

         *    (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/)

k(a, b) = (ka, kb)

(a, b) = (a/, b/) Û

(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/

M chia AB theo tæ soá k Û

Û  (k ¹ 1)

M : trung ñieåm AB Û

M : troïng taâm DABC Û

(töông töï cho vectô 3 chieàu).

*    Vectô 3 chieàu coù theâm tích coù höôùng vaø tích hoãn hôïp :

*     Û  = 0 ; = 0 ;  ñoàng phaúng

Û

A, B, C thaúng haøng Û

*    D trong mp : H laø tröïc taâm Û

H laø chaân ñöôøng cao ha Û

M laø chaân phaân giaùc trong  Û

M laø chaân phaân giaùc ngoøai  Û

I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Û IA = IB = IC.

I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp Û I laø chaân phaân giaùc trong  cuûa DABM vôùi M laø chaân phaân giaùc trong  cuûa DABC.

  1. Ñöôøng thaúng trong mp :

         *    Xaùc ñònh bôûi 1 ñieåm M(xo,yo) vaø 1vtcp  = (a,b) hay 1 phaùp vectô (A,B) :

(d) :

(d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0

*    (d) qua A(a, 0); B(0,b) :

*    (AB) :

*    (d) : Ax + By + C = 0 coù

*    (d) // (D) : Ax + By + C = 0 Þ (d) : Ax + By +  = 0

*    (d) ^ (D) Þ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0

*    (d), (d/) taïo goùc nhoïn j thì :

cosj =

*    d(M,(d)) =

*    Phaân giaùc cuûa (d) : Ax + By + C = 0 vaø (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 laø :

> 0 : phaân giaùc goùc tuø + , nhoïn –

< 0 : phaân giaùc goùc tuø – , nhoïn +

*    Töông giao : Xeùt hpt toïa ñoä giao ñieåm.

  1. Maët phaúng trong khoâng gian :

         *    Xaùc ñònh bôûi 1 ñieåm M(xo, yo, zo) vaø 1 phaùp vectô :  = (A, B, C) hay 2 vtcp .

(P) :  A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0

= []

(P) : Ax + By + Cz + D = 0 coù  = (A, B, C).

(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)   (P) : x/a + y/b + z/c = 1

*    Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0

d(M,(P)) =

*    (P) , (P/) taïo goùc nhoïn j thì :  cos =

*    (P) ^ (P/) Û , (P) // (P/) Û

  1. Ñöôøng thaúng trong khoâng gian :

         *    Xaùc ñònh bôûi 1 ñieåm M (xo, yo, zo­) vaø 1 vtcp  = (a, b, c) hay 2 phaùp vectô :  :

(d) :

*    (AB) :

*    (d) = (P) Ç (P/) :

*    (d) qua A, vtcp  thì :

d(M,(d)) =

*    j laø goùc nhoïn giöõa (d), (d/) thì :

cosj =

*    j laø goùc nhoïn giöõa (d), (P) thì :

sinj =

*    (d) qua M, vtcp , (P) coù pvt  :

(d) caét (P) Û  ¹ 0

(d) // (P) Û  = 0 vaø M Ï (P)

(d) Ì (P) Û  = 0 vaø M Î (P)

*    (d) qua A, vtcp ; (d /) qua B, vtcp  :

(d) caét (d/) Û [] ¹ ,  = 0

(d) // (d/) Û [] = , A Ï (d/)

(d) cheùo (d/) Û [] ¹ ,  ¹ 0

(d) º (d/) Û [] = , A Î (d/)

*    (d) cheùo (d/) : d(d, d/) =

*    (d) cheùo (d/) , tìm ñöôøng ^ chung (D) : tìm ; tìm (P) chöùa (d), // ; tìm (P/) chöùa (d/), //  ; (D) = (P) Ç (P/).

*    (d) ^ (P), caét (d/) Þ (d) naèm trong mp ^ (P), chöùa (d/).

*    (d) qua A, // (P) Þ (d) naèm trong mp chöùa A, // (P).

*    (d) qua A, caét (d/) Þ (d) naèm trong mp chöùa A, chöùa (d/).

*    (d) caét (d/), // (d//) Þ (d) naèm trong mp chöùa (d/), // (d//).

*    (d) qua A, ^ (d/) Þ (d) naèm trong mp chöùa A, ^ (d/).

*    Tìm hc H cuûa M xuoáng (d) : vieát pt mp (P) qua M, ^ (d), H = (d) Ç (P).

*    Tìm hc H cuûa M xuoáng (P) : vieát pt ñt (d) qua M, ^ (P) : H = (d) Ç (P).

*    Tìm hc vuoâng goùc cuûa (d) xuoáng (P) : vieát pt mp (Q) chöùa (d), ^ (P);

(d/) = (P) Ç (Q)

*    Tìm hc song song cuûa (d) theo phöông (D) xuoáng (P) : vieát pt mp (Q) chöùa (d)

// (D); (d/) = (P) Ç (Q).

  1. Ñöôøng troøn :

         *    Ñöôøng troøn (C) xaùc ñònh bôûi taâm I(a,b) vaø bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2

*    (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 coù taâm I(–A,–B), bk R =

*    (d) tx (C) Û d(I, (d)) = R, caét Û < R, khoâng caét Û > R.

*    Tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(xo,yo) : phaân ñoâi t/ñoä trong (C) :

(xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0

*    Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) =  = MT2 = MI2 – R2 vôùi MAB : caùt tuyeán, MT : tieáp tuyeán ; M Î (C) Û PM/(C) = 0 , M trong (C) Û PM/(C) < 0, ngoaøi Û > 0.

*    Truïc ñaúng phöông cuûa (C) vaø (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0

*    (C), (C/) ngoaøi nhau Û II/ > R + R/ : (coù 4 tieáp tuyeán chung); tx ngoaøi Û = R + R/ (3 tieáp tuyeán chung); caét Û  < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong Û =  (1 tt chung laø truïc ñaúng phöông) chöùa nhau Û <  (khoâng coù tt chung).

  1. Maët caàu :

         *    Mc (S) xñ bôûi taâm I (a, b, c) vaø bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2.

*    (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 coù taâm I(–A,–B,–C), bk R =

*    (P) tx (S) Û d(I,(P)) = R, caét Û < R, khoâng caét Û > R.

*    Pt tieáp dieän vôùi (S) taïi M : phaân ñoâi tñoä (S).

*    Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 Û M Î (S), < 0

Û M trong (S), > 0 Û M ngoaøi (S).

*    Maët ñaúng phöông cuûa (S) vaø (S/) :

2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0

*    Töông giao giöõa (S), (S/) : nhö (C), (C/).

*    Khi (S), (S/) tx trong thì tieát dieän chung laø maët ñaúng phöông.

*    Khi (S), (S/) caét nhau thì mp qua giao tuyeán laø maët ñaúng phöông.

  1. Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > 0

M Î (E) Û MF1 + MF2 = 2a.

*    (E) :  = 1 (a > b > 0) : tieâu ñieåm : F1(–c,0), F2(c,0); ñænh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tieâu cöï : F1F2 = 2c, truïc lôùn A1A2 = 2a; truïc nhoû

B1B2 = 2b; taâm sai e = c/a; ñöôøng chuaån x = ± a/e; bk qua tieâu : MF1 = a + exM,

MF2 = a – exM; tt vôùi (E) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä (E),

(E) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2.

*    (E) :  (a > b > 0) : khoâng chính taéc; tieâu ñieåm : F1(0,–c), F2(0,c); ñænh A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tieâu cöï : F1F2 = 2c; truïc lôùn A1A2 = 2a; truïc nhoû B1B2 = 2b; taâm sai e = c/a; ñöôøng chuaån y = ± a/e; baùn kính qua tieâu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tieáp tuyeán vôùi (E) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä (E); (E) tieáp xuùc (d) : Ax + By + C = 0 Û a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chuù yù : taát caû caùc keát quaû cuûa tröôøng hôïp naøy suy töø tröôøng hôïp chính taéc treân baèng caùch thay x bôûi y, y bôûi x).

  1. Hypebol :

         *    Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c.

M Î (H) Û  = 2a

(H) :  = 1 (pt chính taéc)

tieâu ñieåm F1(–c,0), F2(c,0); ñænh tr.thöïc A1(–a,0), A2(a,0); ñænh truïc aûo

B1(0,–b), B2(0,b); tieâu cöï  F1F2 = 2c; ñoä daøi truïc thöïc A1A2 = 2a; ñoä daøi truïc aûo

B1B2 = 2b; taâm sai : e = c/a; ñöôøng chuaån : x = ± a/e; baùn kính qua tieâu : M  nhaùnh phaûi MF1 = exM + a , MF2 = exM – a ,  M Î nhaùnh traùi MF1 = – exM – a,

MF2 = –exM + a; tieáp tuyeán vôùi (H) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä (H);

(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tieäm caän y = ± x

hình chöõ nhaät cô sôû : x = ± a, y = ± b; c2 = a2 + b2.

(H) :  (pt khoâng chính taéc)

tieâu ñieåm F1(0,–c), F2(0,c); ñænh truïc thöïc A1(0,–a), A2(0,a); ñænh truïc aûo B1(–b,0), B2(b,0); tieâu cöï  F1F2 = 2c; ñoä daøi truïc thöïc A1A2 = 2a; ñoä daøi truïc aûo B1B1 = 2b; taâm sai : e = c/a; ñöôøng chuaån : y = ± a/e; baùn kính qua tieâu : M Î nhaùnh treân MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M Î nhaùnh döôùi MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a;  tieáp tuyeán vôùi (H) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä (H);

(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tieäm caän x = ± y

hình chöõ nhaät cô sôû : y= ± a, x = ± b; c2 = a2 + b2 (chuù yù : taát caû caùc keát quaû cuûa tröôøng hôïp naøy suy töø tröôøng hôïp chính taéc baèng caùch thay x bôûi y, y bôûi x).

  1. Parabol : * Cho F, F Ï (D)

M Î (P) Û MF = d(M,(D))

(P) : y2 = 2px (p > 0) (phöông trình chính taéc).

tieâu ñieåm (p/2, 0), ñöôøng chuaån x = – p/2; baùn kính qua tieâu MF = p/2 + xM; taâm sai e = 1, tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pB2 = 2AC (p : heä soá cuûa x trong (P) ñi vôùi B : heä soá cuûa y trong (d)); tham soá tieâu : p.

(P) : y2 = – 2px (p > 0) (phöông trình khoâng chính taéc).

tieâu ñieåm (–p/2, 0), ñöôøng chuaån x = p/2; baùn kính qua tieâu MF = p/2 – xM; taâm sai e = 1, tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pB2 = – 2AC.

(P) : x2 = 2py (p > 0) (phöông trình khoâng chính taéc).

tieâu ñieåm (0, p/2), ñöôøng chuaån y = – p/2; baùn kính qua tieâu MF = p/2 + yM; taâm sai e = 1, tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pA2 = 2BC (p : heä soá cuûa y trong (P) ñi vôùi A : heä soá cuûa x trong (d)).

(P) : x2 = – 2py (p > 0) (phöông trình khoâng chính taéc).

tieâu ñieåm (0, – p/2), ñöôøng chuaån y = p/2; baùn kính qua tieâu MF = p/2 – yM; taâm sai e = 1, tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M : phaân ñoâi toïa ñoä;

(P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pA2 = – 2BC .

CHUÙ YÙ :

*    Caàn coù quan ñieåm giaûi tích khi laøm toaùn hình giaûi tích : ñaët caâu hoûi caàn tìm gì? (ñieåm trong mp M(xo,yo) : 2 aån ; ñieåm trong khoâng gian (3 aån); ñöôøng thaúng trong mp Ax + By + C = 0 : 3 aån A, B, C – thöïc ra laø 2 aån; ñöôøng troøn : 3 aån a, b, R hay A, B, C; (E) : 2 aån a, b vaø caàn bieát daïng ; (H) : nhö (E); (P) : 1 aån p vaø caàn bieát daïng; mp (P) : 4 aån A, B, C, D; maët caàu (S) : 4 aån a, b, c, R hay A, B, C, D; ñöôøng thaúng trong khoâng gian (d) = (P) Ç (Q); ñöôøng troøn trong khoâng gian (C) = (P) Ç (S).

*    Vôùi caùc baøi toaùn hình khoâng gian : caàn laäp heä truïc toïa ñoä.

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here