Luyện giải đề thi cao học môn Đại số

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vào hòm thư: [email protected]

Tổng hợp các đề cương đại học hiện có của Đại Học Hàng Hải: Đề Cương VIMARU 

Kéo xuống để Tải ngay đề cương bản PDF đầy đủ: Sau “mục lục” và “bản xem trước”

(Nếu là đề cương nhiều công thức nên mọi người nên tải về để xem tránh mất công thức)

Đề cương liên quan: Đề thi IQ vào các ngân hàng

---

Tải ngay đề cương bản PDF tại đây: Luyện giải đề thi cao học môn Đại số

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC

MÔN CƠ BẢN:  ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

 

Bài  1:

Cho ánh xạ tuyến tính f : R⁴ R³  xác định bởi

f(x₁,x₂,x₃,x₄)=(x₁+x₂,x₂+x₃,x₃+x₄) với mọi x=(x₁,x₂,x₃,x₄) R⁴

M={ (x₁,x₂,x₃,x₄)  R⁴ : x₁-x₂=0 và x₃-x₄=0}

1. Tìm ma trận f trong cơ sở chính tắc của R⁴ và R³ . xác định Imf và Kerf
2. CM f(M) là không gian vectơ con của R³. tìm dimf(M)

Giải :

• Tìm ma trận f trong cơ sở chính tắc của R⁴ và R³

Trong R⁴ ta có e₁=(1,0,0,0),e₂=(0,1,0,0),e₃=(0,0,1,0),e₄=(0,0,0,1)

Trong R³  ta có e’₁=(1,0,0),e’₂=(0,1,0),e’₃=(0,0,1)

Ma trận f trong cơ sở chính tắc là

mà f(e₁)=(1,0,0)=a₁e’₁+b₁e’₂+c₁e’₃ ta tìm được        (a₁,b₁,c₁)=(1,0,0)

f(e₂)=(1,1,0)                                                      (a₂,b₂,c₂)=(1,1,0)

f(e₃)=(0,1,1)                                                       (a₃,b₃,c₃)=(0,1,1)

f(e₄)=(0,0,1)                                                       (a₄,b₄,c₄)=(0,0,1)

• Xác định Imf,Kerf
• Kerf ={ xR⁴ : f(x)=0 }

Ta được hệ  hệ có nghiệm tổng quát là (-a,a,-a,a)

Hệ nghiệm cơ bản là (-1,1,-1,1)

Vậy dimKerf=1, cơ sở của Kerf =(-1,1,-1,1)

• Tìm Imf

Ta có f(e₁)=(1,0,0),f(e₂)=(1,1,0), f(e₃)=(0,1,1),f(e₄)=(0,0,1)

Nên Imf=<f(e₁),f(e₂),f(e₃),f(e₄)>

Ta có

vậy cơ sở của Imf là f(e₁),f(e₂),f(e₃) và dimf=3

1.  

Bài 2:

Giải và biện luận hệ phương trình

Giải : lập ma trận các hệ số  vậy ta được             

Biện luận:

Với m=1 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số x₂,x₃,x₄

nghiệm của hệ là (1-a-b-c,a,b,c)      a,b,c R

với m=-2 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x₃

nghiệm của hệ là (a,a,a,1)      a R

với m khác 1,-2 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x₄ và m

nghiệm của hệ là                         a R

Bài 3:

Cho chuỗi luỹ thừa

1. Tìm miền hội tụ của chuỗi
2. Tính tổng của chuỗi

Giải:

1. ta có

tính

theo tiêu chuẩn côsi nếu chuổi hội tụ khi C<1  tức là

tại x+2=2 và x+2=-2 ta có chuỗi

hội tụ

vậy MHT là [-4;0]

b.

Bài 4:

Cho a>0 và

Tuỳ theo giá trị của a>0 xét sự khả vi của f tại (0,0), sự liên tục của f’_x,f’_y tại (0,0)

Giải :  Tính các đhr

• tại x²+y²>0

• tại x=y=0
• xét sự khả vi của f tại (0,0) Cần xét :

Với

Nếu =0 thì hàm số khả vi tại (0,0) ngược lại thì không khả vi

• xét sự  liên tục  của f’_x,f’_y tại 0(0,0)

nếu : ,   thì hàm số không liên tục tại (0,0) ngược lại thì liên tục

Bài 5:

Cho (X,d ) là không gian Metric  A X khác rỗng

Cho f: X R định bởi f(x)=d(x;A)=inf{d(x,y): yA}

1. CM: f liên tục điều trên X
2. Giả sử A là tập đóng , B là tập compác chứa trong X và AB =

Đặt d(A,B)= inf{ d(x,y),x A,y B }

CM : d(A,B)>0

Giải :

1. để CM f liên tục điều trên X cần CM

ta có d(x,y) d(x,x’)+d(x’,y)  lấy inf 2 vế d(x,A)-d(x’,A)  d(x,x’)

tương tự   thay đổi vai trò vị trí của x và x’  nhau ta suy ra ĐPCM

vậy f liên tục tại x’, do x’ tuỳ ý nên f liên tục điều trên X

1. Giả sử trái lại d(A,B)=0

Khi đó ta tìm được các dãy (x_n) A, (y_n)B sao cho limd(x_n,y_n)=0

Do B compắc nên (y_n) có dãy con   hội tụ ve  y₀ B

Ta có

Mà

Do A là tập đóng dãy  A,  nên y₀A

Điều này mâu thuẩn với giả thiết AB =.Vậy  d(A,B)>0

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2007

MÔN  CƠ BẢN:  ĐẠI SỐ  VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuổi luỹ thừa

Giải : Đặt X=(x-2)²  đk X

Ta tìm miền hội tụ của chuổi   xét

Ta có

nên khoảng hội tụ là (-2,2)

Xét tại X= 2, X= -2

Ta có chuổi

nên chuổi phân kì

vậy miền hội tụ theo X là (-2,2)

miền họi tụ theo x là

Bài 2: Cho hàm số

Chứng tỏ rằng hàm số f(x,y)có đạo hàm riêng f’_x,f’_y không liên tục tại 0(0,0)

Nhưng hàm số f(x,y)khả vi tại 0(0,0).

Giải :

Tính các đhr tại (x,y)(0,0) va tại (x,y)=(0,0)

• Tại (x,y)(0,0)

Ta có

• Tại (x,y)=(0,0)

CM : f’_x,f’_y không liên tục tại 0(0,0) Ta CM :  và

Hay CM : ,

Ta có :

Do

nên

tương tự ta CM : được

vậy f’_x,f’_y không liên tục tại 0(0,0)

• Ta CM : f(x,y)khả vi tại 0(0,0). Cần CM :

Với

vậy f(x,y)khả vi tại 0(0,0)

Bài 3: Cho  là một hàm số liên tục

CMR : Hàm F: C_[0,1]R xác định bởi

khi x(t) là hàm số liên tục trên C_[0,1]

Giải: Cố định x₀, CM f liên tục tại x₀

Đặt M=1+sup , t

Cho

liên tục trên tập compac D= [0,1]*[-M,M] nên  liên tục đều trên D

tồn tại số >0 sao cho

đặt

mà

ta CM được

vậy F liên tục tại x₀

 

 

Bài 4: Cho ánh xạ tuyến tính  xác định bởi

f(x₁,x₂,x₃,x₄)=(x₁-2x₂+x₄,-x₁+x₂+2x₃,-x₂+2x₃+x₄)

1. Tìm cơ sở và số chiều của kerf, Imf
2. f có phải là đơn cấu , toàn cấu không?

Giải : 1.

• Tìm cơ sở và số chiều của kerf

Với x=( x₁,x₂,x₃,x₄)

Ta có :

f(x₁,x₂,x₃,x₄)=(x₁-2x₂+x₄,-x₁+x₂+2x₃,-x₂+2x₃+x₄)=0

lập ma trận

vậy Rank(A)=2

ta có    nên dimKerf=2

nghiệm cơ bản là (1,1,0,1),(4,2,1,0) và là cơ sở của Kerf

do dimKerf =2  0  nên f không đơn cấu

• Tìm cơ sở , số chiều của Im f

Im f là không gian con của R³ sinh bởi hệ 4 vectơ

f(e₁)=(1,-1,0) với e₁=(1,0,0,0)

f(e₂)=(-2,1,-1) với e₂=(0,1,0,0)

f(e₃)=(0,2,2) với e₃=(0,0,1,0)

f(e₄)=(1,0,1) với e₄=(0,0,0,1)

ta tìm hạng của 4 vectơ trên

xét ma trận

Rank(B)=2, , dim Imf =2 , cơ sở của Imf là f(e₁),f(e₂)

Do , dim Imf =2 nên f không toàn cấu

Bài 5: Cho  là những ánh xạ tuyến tính sao cho

Hơn nữaf là một toàn cấu . CMR tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính   sao cho h.f=g

Giải:

 

 

 

Bài 6: Cho dạng toàn phương trên R³

f(x₁,x₂,x₃)=

1. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange
2. Với giá trị nào của a thì f xác định dương, không âm

Giải : a. f(x₁,x₂,x₃)==……

……=

đặt

ta được cơ sở f chính tắc là u₁=(1,0,0),u₂=(-1/2,1,0),u₃=(-a/3,a/6,1)

ma trận trong cơ sở chính tắc là

1. f xác định dương khi

f xác định không âm khi

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 5/2007

MÔN  CƠ BẢN:  ĐẠI SỐ  VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Cho u=u(x,y), v=v(x,y) là hàm ẩn suy ra từ hệ phương trình

tìm vi phân d_u(1,2), d_v(1,2) biết u(x,y)=0, v(x,y)=0

Giải : lí thuyết : cho hàm ẩn     xác định bởi u=u(x,y), v=v(x,y)

Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn

Từ hệ trên ta có

Tính

Ta có :

Bài 2:  Tìm miền hội tụ của chuổi luỹ thừa

Giải : Đặt X= x+1 ta được

Xét

Ta có :

Tính

Tính

Nên , khoảng hội tụ là (-1,1)

Tại X= ta được chuổi

Từ đó ta có

Chuổi phân kì , MHT theo X là (-1,1)

MHT theo x là (-2,0)

Bài 3: Cho X là không gian metric compac f: XX thoả

d(f(x),f(y))<d(x,y) với x y

1. CM tồn tại duy nhất x₀ X sao cho f(x₀)=x₀
2. Đặt A₁=f(X),A_n+1=f(A_n), n N và

CM: A và f(A)=A

Giải : a. CM tồn tại duy nhất x₀ X sao cho f(x₀)=x₀

Đặt g(x)= d(x,f(x)), g: XR ,x X

• Ta CM g liên tục

Ta co

Mà lim d(x,x’)=0 nên g liên tục

Do X là tập compac nên tồn tại x₀ sao cho g(x₀)=min(g(x))

Để CM f(x₀)=x₀ ta đi CM g(x₀)=d(x₀,f(x₀))=0

Ta CM bằng phản chứng

Giả sử g(x₀)=d(x₀,f(x₀))>0

Khi đó g(f(x₀))=d(f(x₀),f(f(x₀)))< d(x₀,f(x₀))=g(x₀)

Điều này mâu thuẩn với sự kiện g(x₀)=min(g(x))

Vậy g(x₀)=d(x₀,f(x₀))=0 hay x₀=f(x₀)

CM tính duy nhât của x₀.

Giả sử có y₀ X sao cho y₀=f(x₀)

Khi đó d(x₀,y₀) =d(f(x₀),f(y₀))<d(x₀,y₀) nếu x₀  y₀

Điều này vô lí vậy x₀ tồn tại và duy nhất

1. Đặt A₁=f(X),A_n+1=f(An), n N và

CM: A và f(A)=A

• CM: A

Do f liên tục ,X compac nên A₁= f(X) là tập compac

Giả sử An là tập compackhi đó A_n+1=f(A_n) là tập compac

Vậy A_n là tập compac khác rỗng  nên A_n la tập đóng

Hơn nủa do A₁=f(X)X nên A₂=f(A₁)f(X)=A₁

Giả sử A_n+1 A_n ta có A_n+2=f(A_n+1) f(A_n)=A_n+1

Vậy A_n+1

là họ có tâm các tập đóng trong không gian compac

Theo tính chất phần giao hữu hạn ta có  A=

• CM: f(A)=A cần CM : f(A)A (1)  , f(A)A (2)
• CM : f(A)A (1)

Do A  A_n nên f(A)  f(A_n)=A_n+1 với mọi n, là dãy giảm nên

f(A)

• f(A)A (2)

lấy tuỳ ý x A cần CM x  f(A)

vì x  A_n+1 =f(A_n) với mọi n=1,2 … tồn tại x_nA_n: x=f(x_n)

do X compact nên có dãy con (x_nk)_k :

khi đó  , do f liên tục nên ) ta cần CM a  A

cố đinh n ta có   khi n_k n

do A_n đóng

vậy a A_n   với mọi n=1,2 …

do a  A, x=f(a) f(A)

vậy ta CM được f(A)=A

 

 

 

 

Bài 4: Giải và biện luận hệ

Giải : Ta có ma trận mở rộng

đổi chổ d₁, d₃, biến đổi ma trận về dạng

biện luận

• nếu m=1 hệ có VSN phụ thuộc 3 tham số x₂,x₃,x₄ và RankA=1

nghiệm của hệ là x₁=1-a-b-c, x₂=a,x₃=b,x₄=c

• nếu m=-2 hệ có VSN phụ thuộc  tham số x₃ và RankA=3

nghiệm của hệ là x₁=x₂=x₃=a,x₄=1

• nếu m 1và m -2 thì hệ có VSN phụ thuộc vào tham số x₄ va tham số m

nghiệm của hệ là ,,,

Bài 5: Trong R³ cho cơ sở :

u₁=(1,1,1),  u₂= (-1,2,1),   u₃=(1,3,2)

cho ánh xạ tuyến tính f: R³ R³ xác định bởi

f(u₁)= (0,5,3), f(u₂)=(2,4,3),  f(u₃)=(0,3,2)

tìm ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo hoá được

Giải : b1. Tìm ma trận của f trong cơ sở u

Ta có hệ

Từ (1) ta có (0,5,3)=a₁(1,1,1)+a₂(-1,2,1)+a₃(1,3,2)

Tương tự từ ( 2) ta được b₁=1,b₂=0,b₃=1

Tương tự từ (3) ta được c₁=1,c₂=1,c₃=0

Vậy ma trận A trong cơ sở f là

B2. Tìm GTR- VTR của A và của f (GTR của A chính là GTR của f)

Xét ma trận đặt trưng

A có 2 giá trị riêng, nên f có 2 giá trị riêng m=-1, m=2

Tìm VTR của A từ đó suy ra VTR của f

• với m=-1 ta có

VTR của A có dạng        a,bR

Dạng VTR của A là (-a-b,a,b)

Vậy A có 2 VTR (-1,0,1),(-1,1,0)

Từ đó VTR của f có dạng n= x₁u₁+x₂u₂+x₃u₃=(-a-b)u₁+au₂+bu₃=

=(-a-b)(1,1,1)+a(-1,2,1)+b(1,3,2)=(-2a,a+2b,b)

vậy f có 2 VTR ĐLTT với a=1,b=0 : VTR là n₁=(-2,1,0)

với a=0,b=1: VTR là n₂=(0,2,1)

• với m=2 ta có

VTR của A có dạng aR

Dạng VTR của A là (a,a,a),

Vậy A có VTR (1,1,1)

Từ đó VTR của f có dạng n= x₁u₁+x₂u₂+x₃u₃=au₁+au₂+au₃=

=a(1,1,1)+a(-1,2,1)+a(1,3,2)=(a,6a,4a)

vậy f có  VTR là n₃=(1,6,4)

b3 : KL vậy f có 3 VTR ĐLTT n₁,n₂,n₃ do đó 3 VTR n₁,n₂,n₃ làm thành 1 cơ sở của R³ và ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo hoá được

ta có :

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2006

MÔN  CƠ BẢN:  ĐẠI SỐ  VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Cho

1. Xét sự khả vi của f tại (x,y)R² đặc biệt tại (0,0)
2. Xét sự liên tục của các ĐHR tại (0,0)

Giải :

• Tại (x,y)(0,0) Ta có

Do  liên tục tại mọi (x,y)(0,0) nên f khả vi tại mọi  (x,y)(0,0)

• Tại (x,y)=(0,0)

Ta có

• Tính

Ta có

0

do  nên f khả vi tại (0,0)

b.Xét sự liên tục của các ĐHR  tại (0,0)

để Xét sự liên tục của các ĐHR  tại (0,0) ta tính

nếu  thì liên tục tại (0,0)

không liên tục tại (0,0)

chọn ta có

chọn  ta có

vậy  không liên tục tại (0,0)

Bài 2: Cho (X,d )là không gian mêtric compac, f: XX thoả mãn:

d(f(x),f(y))<d(x,y) nếu xy

1. CM có duy nhất x₀X sao cho f(x₀)=x₀
2. Đặt g_n: X R định bởi

g_n (x)=d(x₀,fⁿ(x)) , x trong đó fⁿ=f₀f₀₀f   (n lần )

CM g_n liên tục thoả mãn

1. CM (g_n)_n hội tụ điều về 0 trên X

Giải :

a.CM có duy nhất x₀ X sao cho f(x₀)=x₀

đặt h: X R xác định bởi h(x)=d(x,f(x)), x

ta CM h liên tục

xét

vậy h liên tục

h(x) liên tục , X compac nên tồn tại x₀ : h(x₀)= min(h(x)) với  x X

cần CM h(x₀)=0 ta CM bằng phản chứng

giả sử h(x₀)=d(x₀,f(x₀))>0

khi đó h(f(x₀))=d(f(x₀),f(f(x₀)))<d(x₀,f(x₀))=h(x₀)

điều này mâu thuẩn với sự kiện tồn tại x₀ : h(x₀)= min(h(x)) với  x X

vậy h(x₀) =0 hay x₀=f(x₀)

ta CM tính duy nhất

giả sử có y₀ X : y₀=f(x₀) với x₀ khác y₀

ta có d(x₀,y₀)=d(f(x₀),f(y₀))<d(x₀,y₀) điều này vô lí

vậy x₀ tồn tại duy nhất

1. Đặt g_n: X R định bởi

g_n (x)=d(x₀,fⁿ(x)) , x trong đó fⁿ=f₀f₀₀f   (n lần )

CM g_n liên tục thoả mãn

Ta có

Nên g_n liên tục

Do  (g_n(x))dãy giảm không âm nên hội tụ

Đặt a= limg_n(x)

Giả sử a>0, do X compac dãy fⁿ(x)chữa dãy con hội tụ

Đặt

Ta có  là dãy con của  nên

mâu thuẩn  vậy

1. CM (g_n)_n hội tụ điều về 0 trên X

với đặt   là tập mở

do g_n (x)  >g_n+1(x)nên G_nG_n+1 ta có

do X compac nên có n₀ :

vậy  vậy (g_n)_n hội tụ điều về 0 trên X

Bài 3  Cho V là không gian vectơ , f: V V là ánh xạ tuyến tính thoả mãn f²=f CM:

Kerf+Imf=V và

Giải

• CM: Kerf+Imf=V ta cần CM Kerf+ImfV (1), Kerf+ImfV (2)
• CM Kerf+ImfV (1) hiển nhiên
• CM: Kerf+ImfV (2)

Lấy tuỳ ý xV cần CM x Kerf+Imf

Ta có x= x-f(x)+f(x) mà f(x)  Imf cần CM (x-f(x))  Kerf cần CM f(x-f(x))=0

Xét f(x-f(x))=f(x)-f²(x)=f(x)-f(x)=0 nên (x-f(x))  Kerf hay x Kerf+Imf

Vậy Kerf+ImfV

Từ (1),(2) ta có Kerf+Imf=V

• CM

Lây y tuỳ y: y  cần CM y=0

Do y  khi đó có xV : f(x)=y và f(y)=0

Do f²=f nên y=f(x)=f²(x)=f(f(x))=f(y)=0

Vậy y=0 hay

Bài 4 : Cho f: R⁴ R³ định bởi

f(x₁,x₂,x₃,x₄)=(x₁-x₂+x₃,2x₁+x₄,2x₂-x₃+x₄)

1. Tìm cơ sở và số chiều của Kerf, Imf
2. Tìm u R⁴ sao cho f(u)=(1,-1, 0)

Giải : a.

• Tìm cơ sở số chiều của Kerf

Với x=(x₁,x₂,x₃,x₄)

ta có ma trận mở rộng

biến đổi ta được hệ

là nghiệm tổng quát của hệ

ta có dimKerf =1

cơ sở của Kerf là (1,1,0,2)

• Tìm cơ sở và số chiều của Imf

ta có f(e₁)=(1,2,0), f(e₂)=(-1,0,2), f(e₃)=(1,0,-1), f(e₄)=(0,1,1)

Imf=(f(e₁),f(e2),f(e₃),f(e₄))

Ta có

Nên dim Imf =3

Vậy cơ sở của Imf là (f(e₁),f(e2),f(e₃))

1. Tìm u R⁴ sao cho f(u)=(1,-1, 0)

ta có : f(u)=(1,-1, 0) =(x₁-x₂+x₃,2x₁+x₄,2x₂-x₃+x₄)

ta được hệ     (a  R)

lập ma trận mở rộng  biến đôi để giải hệ trên ta có u=(x₁,x₂,x₃,x₄)

Bài 5 : Tìm GTR- VTR và chéo hoá ma trân

A=

Giải : Xét đa thức đặt trương

vậy A có 3 GTR a=0, a=6, a=3

• tìm VTR
• với a=0 :ta có

ta được hệ   suy ra VTR (0,a,a) với a=1 thì VTR (0,1,1)

• với a=6: ta có

được hệsuy ra VTR (-2a,-a,a) với a=1 thì VTR (-2,-1,1)

• với a=3: ta có

được hệsuy ra VTR (3a,a,a) với a=1 thì VTR (3,1,1)

• ma trận cần tìm là T= và T^-1AT=

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2005

MÔN  CƠ BẢN:  ĐẠI SỐ  VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Cho hàm số

CMR hàm số f(x,y ) có các đạo hàm riêng  không liên tục tại (0,0) nhưng f(x,y) khả vi tại (0,0)

Giải :

• Tính các đhr
• tại (x,y)(0,0)

ta có

• tại (x,y)=(0,0)

( do  )

• xét sự liên tục của các đhr

nếu thì các đhr liên tục

• ta có

do

do

vậy

• tương tự ta có

vậy các đhr không liên tục tại (0,0)

• xét sự khả vi tại (0,0)

để CM f(x,y) khả vi tại (0,0) cần CM

với

ta có     do

vậy f khả vi tại (0,0)

Bài 2: Tìm miền hội tụ của chuổi luỷ thừa

Giải :

Đặt X=x-2

Ta được chuổi

Xét L=

Nên R=3 và khoảng hội tụ là (-3,3)

Xét tại X=3 và X=-3  ta được

=

nên tại X=3,X=-3 chuổi không  hội tụ

MHT chuổi theo X là (-3,3)

MHT chuổi theo x là (-1,5)

Bài 3:  Gọi

a.CMR : M là tập đóng không rỗng và bị chặn trong không gian metric C([0,1]) với mêtric d(x,y)=max{: t} với x(t),y(t)

1. xét xác định bởi f(x)=

CM : f liên tục trên M những f không đạt được GTNN trên M từ đó suy ra M không phải là tập compắc trong C([0,1])

Giải :    a.

• CM : M là tập đóng

Lấy dãy (x_n) M : limx_n=x cần CM xM

Ta có

Cho n ta có  nên xM

Vậy M là tập đóng

1.  

• CM f liên tục trên M

Xét tuỳ ý x, (x_n) M : limx_n=x cần CM limf(x_n)=f(x)

Ta có

Với N=

do limd(x_n,x)=0  nên từ đây ta có limf(x_n)=f(x)

vậy f liên tục trên M

• CM f không đạt GTNN trên M
• Trước tiên ta CM inff(M)=0, nhưng không tồn tại xM để f(x)=0

Đặt a= inff(M) ta có f(x) nên a

Với x_n(t)=tⁿ ta có x_n M

vậy a= inff(M)=0

• không tồn tại xM để f(x)=0

giả sử tồn tai xM để  f(x)=0 ta có liên tục trên [0,1]     suy ra  x(t)=0  với mọi t  [0,1] điêu này mâu thuẩn với x(1)=1 với mọi xM

vậy không tồn tại xM để f(x)=0

từ đây ta suy ra M không là tập compăc

giả sử nếu M là tập compắc , f liên tục thì f đạt cực tiểu trên M tức là có x₀M sao cho f(x₀)=inff(M)=0 điều này mâu thuẩn với không tồn tại xM để f(x)=0

vậy M không là tập compắc

Bài 4:  Cho  là một phép biến đổi tuyến tính xác định bởi

f(u₁)=v₁, f(u₂)=v_2, f(u₃)=v₃

u₁=(1,1,1),u₂=(0,1,1), u₃=(0,0,1)

v₁=(a+3,a+3,a+3),v₂=(2,a+2,a+2), v₃=(1,1,a+1)

a.tìm ma trận f với cơ sở chính tắc e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1)

1. Tìm giá trị của a để f là một đẳng cấu
2. khi f không là một đẳng cấu hãy tìm cơ sở và số chiều của Imf và Kerf
3. với a=-3 f có chéo hoá được không trong trường hợp f chéo hoá được háy tìm một cơ sở để ma trận f voéi cơ sở đó có dạng chéo .

Giải :

 

 

 

 

 

 

 

 

Bài 5: Cho dạng toàn phương

1. Đưa dạng toàn phương vể dạng chính tắc
2. Với giá trị nào của a thì f là xác định dương và nữa xác định dương

Giải :         a. ta có

đặt

cơ sở f chính tắc là u₁=(1,0,0),u₂=(-1,1,0),u₃=(1-2a,a-1,1)

ma trận

b.f xác định dương khi -2a²+2a>0

f nữa xác định dương khi -2a²+2a=0

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2004

MÔN  CƠ BẢN:  ĐẠI SỐ  VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm luỷ thừa

Giải :

Xét

Ta có L=

Nên  , khoảng hội tụ là

Xét tai 2 đầu mút x=

Ta có chuổi

vậy MHT của chuổi hàm luỹ thừa là

 

 

 

Bài 2 : Cho hàm số f:R² R  xác định bởi

1. Xét sự liên tục của f trên R²
2. Tính các đạo hàm riêng của f trên R²

Giải : Chú ý : nếu  thì hàm số liên tục

• Tại mọi (x,y)(0,0) thì hàm số liên tục vì là hàm sơ cấp
• Xét sự liên tục của f trên R² tại (0,0)
• Tính

Chọn dãy  khi n

Ta có ,

vậy hàm số không liên tục tại (0,0)

• Tính các đhr
• Tại (x,y) (0,0)

ta có

• Tại (x,y)=(0,0)

ta có

Bài 3: Tính tích phân

Với D là nữa trên của hình tròn có tâm tại điểm (1,0) bán kính 1

Giải :

Phương trình đường tròn tâm I(1,0) bán kính R=1 là (x-1)²+y²1x²+y²2x

Đổi sang toạ độ cực

Đặt 1 chu kì

Ta có x²+y²2x ta có r²2rcos nên

Vậy ta được

Với

Vậy Bài 4: Cho tập hợp các số tự nhiên N với mọi m,n N

Đặt

1. CM d là metric trên N
2. CM (N,d ) là không gian metric đầy đủ

Giải : a.   d là metric trên N

• d(m,n)

d(m,n)=0   m=n

•  
• CM d(m,n)  d(m,l)+d(l,n)  (1)

TH1 : nếu m=n,m=l,n=l thì (1) đúng

TH2 : nếu m n thì

nếu m l thì

nếu l n thì

thì VT của (1)  , VP của (1) nên (1) đúng

1. (N,d ) là không gian metric đầy đủ

giả sử (x_n) là dãy cauchy trong (N,d) ta CM x_n x d

do (x_n) là dãy cauchy trong (N,d) nên ta có

chọn

vậy  trên d

Bài 5: tính định thức

Giải : 

Bài 6: Cho ánh xạ tuyến tính f: R⁴ R³ có ma trận trong cặp cơ sở chính tắc là

xác định nhân và ảnh của f , Hỏi f có đơn cấu , toàn cấu không? Vì sao?

Giải : từ mae trận tacó  ánh xạ

f(x₁,x₂,x₃,x₄)=(x₁+2x₃+x₄,2x₁+3x₂-x₃+x₄,-2x₁-5x₃+3x₄)

Xác định nhân và ảnh của f tức là tìm cơ sở và số chiều của Imf, Kerf

• Tìm cơ sở và số chiều của Kerf

Ta có

Ta được hệ

f có 1 ẩn tự do nên dimKerf = 1 và Kerf có cơ sở là (-33,26,15,3)

Vậy f không đơn cấu vì dimKerf = 1

• Tìm cơ sở, số chiều của Imf

Ta có B=

Vậy Rank (B)=3 nên dimImf=3 và Imf có 1 cơ sở gồm 3 vectơ(f(e₁),f(e₄),f(e₂))

f không toàn cấu vì dimImf=3

Bài 7: Cho ma trận

1. Tìm GTR-VTR của A
2. Tính A²⁰⁰⁴ .

Giải :

1. Tìm GTR- VTR của A
   • Tìm GTR của A

Xét đa thức đặt trưng

Ta có:

Vậy A có 2 GTR a=1, a=2

• Tìm VTR của A
• Với a=1 ta có

Ta được hệ        vậy có VTR (1,1,1)

• Với a=2 ta có

Ta được hệ

Vậy  có 2 VTR (1,1,0), (-1,0,3)

1.  

ta có

ma trận chéo của A là

(Q^-1AQ)²⁰⁰⁴=Q^-1A²⁰⁰⁴Q

vậy A²⁰⁰⁴=QB²⁰⁰⁴Q^-1==

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2003

MÔN  CƠ BẢN:  ĐẠI SỐ  VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3: Cho (X,d) là không gian metric compắc

a.Giả sử A_n là họ các tập con đóng trong X và A_n+1 A_n mọi n   N

CMR nếu vơi mọi  n   N ,A_n thì

b.Giả sử  là các hàm liên tục và  CMR nếu

Hộ tụ đều về 0 trên X

Giải :

1. giả sử vơi mọi n N ,A_n CMR :

vơi mọi  n   N lấy x_n  A_n

do

do X compắc nên với (x_n)_nX có dãy con ()_k hội tụ

đặt x=

do n_k k nên A_k là tập đóng  với mọi i dãy

vậy

1. cần CM :
2.  
3.  

ta có và  nên

với  cho trước đặt

do  là tập mở, f liên tục nên F_n mở

do f_n+1(x)f_n(x) suy ra f_n(x) là dãy giảm nên

do

do X compắc nên có tập J hữu hạn trong N sao cho

đặt n₀=maxJ ta có được

vậy  hội tụ đều về 0 trên X

Bài 4: b tìm miền họi tụ của chuỗi hàm

Giải :  xét

Ta có

Bán kính hội tụ R=e^d, khoảng hội tụ (-e^d;e^d)

Xét tại 2 đầu mút x=e^d,x=-e^d

Ta có chuỗi

Vậy MHT của chuỗi là (-e^d;e^d)

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2002

MÔN  CƠ BẢN:  ĐẠI SỐ  VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1 : a. Cho hàm số

Xét tính liên tục của f(x,y) và các đhr  trên tập xác định

Giải :

• Tại mọi (x,y)(0,0) f(x,y) liên tục vì là hàm sơ cấp
• Xét sự liên tục của f tại (x,y)= (0,0)

Nếu  thì hàm số liên tục

Ta có :

Xét

từ đó

vậy f liên tục

• Tính các đhr
• Tại (x,y)(0,0)
• Tại (x,y)=(0,0)

1. Tính tổng của chuỗi hàm trong MHT của nó

Giải : ta tìm được khoảng hội tụ là (-1,1)

Ta có

Đặt (1)

Lấy tích phân 2 vế của (1) trên đoạn [0,x] ta được

(2) là CSN

đạo hàm 2 vế của (2) ta được

vậy

Bài 2:

 

Bài 3:

Bài 4: b. Tìm các VTR- GTR của ma trận

A=

Giải : Xét đa thức đặt trưng

Vậy có 3 GTR a=6,a= 3, a= 9

• Tìm VTR
• Với a=6 ta có

Ta được hệ

Có VTR là (-1,2,2)

• Với a=3 ta có

Ta được hệ

Có VTR là (,,)

• Với a=9 ta có

Ta được hệ

Có VTR là (,,)

---

Tải xuống tài liệu học tập PDF miễn phí

Tải Xuống Tại Đây

---